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10. 如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，∠A=40°，P是△ABC内一点，且∠ACP=∠PBC，则∠BPC=.
答案
110°
解析
在△ABC中，已知∠ABC = ∠ACB，且∠A = 40°，因此，△ABC为等腰三角形，∠ABC = ∠ACB = (180° - ∠A) / 2 = (180° - 40°) / 2 = 70°。
已知∠ACP = ∠PBC，设∠ACP = ∠PBC = x，则∠PCB = ∠ACB - ∠ACP = 70° - x。
在△BPC中，内角和为180°，即：
∠BPC = 180° - ∠PBC - ∠PCB = 180° - x - (70° - x) = 180° - 70° = 110°。
已知∠ACP = ∠PBC，设∠ACP = ∠PBC = x，则∠PCB = ∠ACB - ∠ACP = 70° - x。
在△BPC中，内角和为180°，即：
∠BPC = 180° - ∠PBC - ∠PCB = 180° - x - (70° - x) = 180° - 70° = 110°。
三、解答题
11. 如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，∠A=68°，∠BCD=31°. 求∠B，∠ADC的度数.
11. 如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，∠A=68°，∠BCD=31°. 求∠B，∠ADC的度数.
答案
∠B=50°，∠ADC=81°
解析
∵CD平分∠ACB，∠BCD=31°，
∴∠ACB=2∠BCD=62°，∠ACD=∠BCD=31°.
在△ABC中，∠A=68°，∠ACB=62°，
∴∠B=180°-∠A-∠ACB=180°-68°-62°=50°.
在△ADC中，∠A=68°，∠ACD=31°，
∴∠ADC=180°-∠A-∠ACD=180°-68°-31°=81°.
∴∠ACB=2∠BCD=62°，∠ACD=∠BCD=31°.
在△ABC中，∠A=68°，∠ACB=62°，
∴∠B=180°-∠A-∠ACB=180°-68°-62°=50°.
在△ADC中，∠A=68°，∠ACD=31°，
∴∠ADC=180°-∠A-∠ACD=180°-68°-31°=81°.
12. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长比△ABD的周长多5cm，AB与AC的和为11cm，求AC的长.
答案
8cm
解析
∵AD是BC边上的中线，∴CD=BD.
△ADC周长=AC+AD+CD，△ABD周长=AB+AD+BD.
∵△ADC周长比△ABD周长多5cm，∴(AC+AD+CD)-(AB+AD+BD)=5cm.
又CD=BD，AD=AD，∴AC-AB=5cm.
∵AB+AC=11cm，联立AC-AB=5cm，解得AC=8cm.
△ADC周长=AC+AD+CD，△ABD周长=AB+AD+BD.
∵△ADC周长比△ABD周长多5cm，∴(AC+AD+CD)-(AB+AD+BD)=5cm.
又CD=BD，AD=AD，∴AC-AB=5cm.
∵AB+AC=11cm，联立AC-AB=5cm，解得AC=8cm.
13. 如图，在△ABC中，已知∠ABC=60°，∠ACB=50°，BE是AC上的高，CF是AB上的高，H是BE和CF的交点. 求∠ABE，∠ACF和∠BHC的度数.
答案
∠ABE=20°，∠ACF=20°，∠BHC=110°
解析
在△ABC中，∠ABC=60°，∠ACB=50°，由三角形内角和定理得∠A=180°-60°-50°=70°。
BE是AC上的高，∴∠AEB=90°，在Rt△ABE中，∠ABE=90°-∠A=90°-70°=20°。
CF是AB上的高，∴∠AFC=90°，在Rt△AFC中，∠ACF=90°-∠A=90°-70°=20°。
∠HBC=∠ABC-∠ABE=60°-20°=40°，∠HCB=∠ACB-∠ACF=50°-20°=30°，在△BHC中，∠BHC=180°-∠HBC-∠HCB=180°-40°-30°=110°。
BE是AC上的高，∴∠AEB=90°，在Rt△ABE中，∠ABE=90°-∠A=90°-70°=20°。
CF是AB上的高，∴∠AFC=90°，在Rt△AFC中，∠ACF=90°-∠A=90°-70°=20°。
∠HBC=∠ABC-∠ABE=60°-20°=40°，∠HCB=∠ACB-∠ACF=50°-20°=30°，在△BHC中，∠BHC=180°-∠HBC-∠HCB=180°-40°-30°=110°。
