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知识梳理
1. 在平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次连结所组成的图形叫做多边形.
2. 画出多边形的任何一边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是，如果整个多边形不在这条直线的同一侧，那么这个多边形叫做.
3. $n$边形的内角和为$(n≥ 3)$. 多边形的外角和为.
1. 在平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次连结所组成的图形叫做多边形.
2. 画出多边形的任何一边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是，如果整个多边形不在这条直线的同一侧，那么这个多边形叫做.
3. $n$边形的内角和为$(n≥ 3)$. 多边形的外角和为.
答案
封闭；凸多边形；凹多边形；$(n - 2)180^{\circ}$；$360^{\circ}$
解析
1.在平面内，由不在同一直线上的线段首尾顺次连结所组成的封闭图形叫做多边形，所以第一个空应填“封闭”；
2.画出多边形的任何一条边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，则这个多边形就是凸多边形；如果整个多边形不在这条直线的同一侧，则这个多边形叫做凹多边形，所以第二个空填“凸多边形”，第三个空填“凹多边形”；
3.从$n$边形的一个顶点出发，可以做$(n - 3)$条对角线，它们将$n$边形分成$(n - 2)$个三角形，所以$n$边形的内角和为$(n - 2)×180^{\circ}(n≥3)$；
多边形的外角和是每个顶点处取一个外角，这些外角之和恒为$360^{\circ}$，所以第四个空填$(n - 2)×180^{\circ}$或$(n - 2)180^{\circ}$，第五个空填$360^{\circ}$。
2.画出多边形的任何一条边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，则这个多边形就是凸多边形；如果整个多边形不在这条直线的同一侧，则这个多边形叫做凹多边形，所以第二个空填“凸多边形”，第三个空填“凹多边形”；
3.从$n$边形的一个顶点出发，可以做$(n - 3)$条对角线，它们将$n$边形分成$(n - 2)$个三角形，所以$n$边形的内角和为$(n - 2)×180^{\circ}(n≥3)$；
多边形的外角和是每个顶点处取一个外角，这些外角之和恒为$360^{\circ}$，所以第四个空填$(n - 2)×180^{\circ}$或$(n - 2)180^{\circ}$，第五个空填$360^{\circ}$。
重难点1 多边形的有关概念
【典例1】下列图形中，（C）是五边形.
解析：A为圆形，不符合题意；B为六边形，不符合题意；C为五边形，符合题意；D为七边形，不符合题意；故选C.
【典例1】下列图形中，（C）是五边形.
解析：A为圆形，不符合题意；B为六边形，不符合题意；C为五边形，符合题意；D为七边形，不符合题意；故选C.
答案
C
解析
题目要求找出五边形，需要判断各个选项的边数。A是一个圆，不是多边形，不符合题意；B有6条边，是六边形，不符合题意；C有5条边，是五边形，符合题意；D有7条边，是七边形，不符合题意。因此选择C。
【对点训练】
1. 如图所示，图中共有多边形()
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
1. 如图所示，图中共有多边形()
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
答案
B
解析
根据多边形定义：由不在同一直线上的若干条线段首尾顺次相连组成的封闭图形。图①不是封闭图形；图②由曲线组成，不是线段；图③不是封闭图形；图④是三角形，是多边形；图⑤是五边形，是多边形；图⑥不是封闭图形；图⑦由曲线和线段组成，不是多边形；图⑧不是封闭图形。所以共有2个多边形。
重难点2 多边形的内角和
【典例2】若一个多边形的内角和等于$1800^{\circ}$，则这个多边形的边数是（D）
A. 6
B. 8
C. 10
D. 12
解析：设这个多边形是$n$边形，根据题意，得$(n - 2)× 180^{\circ}=1800^{\circ}$，解得$n = 12$，$\therefore$这个多边形是12边形. 故选D.
【典例2】若一个多边形的内角和等于$1800^{\circ}$，则这个多边形的边数是（D）
A. 6
B. 8
C. 10
D. 12
解析：设这个多边形是$n$边形，根据题意，得$(n - 2)× 180^{\circ}=1800^{\circ}$，解得$n = 12$，$\therefore$这个多边形是12边形. 故选D.
答案
D
解析
设多边形边数为$n$，根据多边形内角和公式$(n - 2)×180^{\circ}$，由题意得方程$(n - 2)×180^{\circ}=1800^{\circ}$，两边同时除以$180^{\circ}$可得$n - 2 = 10$，解得$n = 12$。
【对点训练】
2. 下列多边形中，内角和最小的是()
2. 下列多边形中，内角和最小的是()
答案
A
解析
多边形的内角和公式为$(n - 2)×180^{\circ}$（$n$为边数且$n≥ 3$且$n$为整数），根据公式可知，边数越小内角和越小。A选项是四边形，$n = 4$，内角和为$(4 - 2)×180^{\circ}= 360^{\circ}$；B选项是五边形，$n = 5$，内角和为$(5 - 2)×180^{\circ}=540^{\circ}$；C选项是七边形，$n = 7$，内角和为$(7 - 2)×180^{\circ}=900^{\circ}$；D选项是八边形，$n = 8$，内角和为$(8 - 2)×180^{\circ}=1080^{\circ}$。比较可得四边形内角和最小。
重难点3 多边形的外角和
【典例3】如图，已知$∠ 1+∠ 2+∠ 3+∠ 4=280^{\circ}$，那么$∠ 5$的度数为（B）
A. $70^{\circ}$
B. $80^{\circ}$
C. $90^{\circ}$
D. $100^{\circ}$
解析：由题意，得$∠ 1+∠ 2+∠ 3+∠ 4+∠ 5=360^{\circ}$，
$\because ∠ 1+2+∠ 3+∠ 4=280^{\circ}$，
$\therefore ∠ 5=360^{\circ}-280^{\circ}=80^{\circ}$，
故选B.
【典例3】如图，已知$∠ 1+∠ 2+∠ 3+∠ 4=280^{\circ}$，那么$∠ 5$的度数为（B）
A. $70^{\circ}$
B. $80^{\circ}$
C. $90^{\circ}$
D. $100^{\circ}$
解析：由题意，得$∠ 1+∠ 2+∠ 3+∠ 4+∠ 5=360^{\circ}$，
$\because ∠ 1+2+∠ 3+∠ 4=280^{\circ}$，
$\therefore ∠ 5=360^{\circ}-280^{\circ}=80^{\circ}$，
故选B.
答案
B
解析
根据多边形的外角和定理，任何一个多边形的外角和都是360°。因此有：
$∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 = 360^{\circ}$。
题目给出 $∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 280^{\circ}$，
所以：
$∠5 = 360^{\circ} - 280^{\circ} = 80^{\circ}$。
故答案为B。
$∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 = 360^{\circ}$。
题目给出 $∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 280^{\circ}$，
所以：
$∠5 = 360^{\circ} - 280^{\circ} = 80^{\circ}$。
故答案为B。
【对点训练】
3. 一个正多边形的内角和比四边形的外角和多$180^{\circ}$，则这个多边形的每个外角是()
A. $72^{\circ}$
B. $90^{\circ}$
C. $108^{\circ}$
D. $120^{\circ}$
3. 一个正多边形的内角和比四边形的外角和多$180^{\circ}$，则这个多边形的每个外角是()
A. $72^{\circ}$
B. $90^{\circ}$
C. $108^{\circ}$
D. $120^{\circ}$
答案
A
解析
设这个正多边形的边数为n，根据题意得：(n-2)×180°=360°+180°，解得n=5，360°÷5=72°
