1. (★★)如图,在矩形 $ABCD$ 中,$E$ 是 $BC$ 上一点,$DF ⊥ AE$ 于点 $F$,$AE = BC$,求证:$CE = EF$.

证明：
∵四边形$ABCD$是矩形，
∴$AD=BC$，$AD// BC$，$∠ B=90°$。
∵$AE=BC$，∴$AE=AD$。
∵$AD// BC$，∴$∠ DAE=∠ AEB$。
∵$DF⊥ AE$，∴$∠ AFD=90°=∠ B$。
在$△ ABE$和$△ DFA$中，
$\begin{cases}∠ B=∠ AFD\\∠ AEB=∠ DAF\\AE=AD\end{cases}$，
∴$△ ABE≌△ DFA(AAS)$。
∴$AF=BE$。
∵$AE=BC$，设$AE=BC=m$，$BE=n$，则$AF=n$，
∴$EF=AE-AF=m-n$，$CE=BC-BE=m-n$。
∴$CE=EF$。

2. (★★)在矩形纸片 $ABCD$ 中,已知 $AD = 8$,折叠纸片使 $AB$ 边与对角线 $AC$ 重合,点 $B$ 落在点 $F$ 处,折痕为 $AE$,且 $EF = 3$,求 $AB$ 的长.

∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=90°，BC=AD=8。
由折叠性质得：AB=AF，BE=EF=3，∠AFE=∠B=90°。
∴EC=BC-BE=8-3=5。
在Rt△EFC中，EF=3，EC=5，
由勾股定理得：FC²=EC²-EF²=5²-3²=16，∴FC=4。
设AB=AF=x，则AC=AF+FC=x+4。
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB²+BC²=AC²，
即x²+8²=(x+4)²，
展开得x²+64=x²+8x+16，
化简得8x=48，解得x=6。
∴AB的长为6。

3. (★★)如图,在 $△ ABC$ 中,$D$,$E$ 分别是 $AB$,$AC$ 的中点,连接 $ED$ 并延长至点 $F$,使 $DF = DE$,连接 $AF$,$BF$,$BE$.
(1) 求证:$△ ADE≌△ BDF$;
(2) 若 $∠ ABE = ∠ CBE$,求证:四边形 $AFBE$ 是矩形.

(1) 证明：∵D是AB中点，∴AD=BD。
∵DF=DE，∠ADE=∠BDF（对顶角相等），
∴△ADE≌△BDF（SAS）。
(2) 证明：由(1)得△ADE≌△BDF，∴AE=BF，∠AED=∠BFD，
∴AE//BF（内错角相等，两直线平行），
∴四边形AFBE是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
∵D、E分别是AB、AC中点，∴DE是△ABC中位线，
∴DE//BC，∴∠DEB=∠CBE（两直线平行，内错角相等）。
∵∠ABE=∠CBE，∴∠DEB=∠ABE，∴BD=DE（等角对等边）。
∵D是AB中点，∴AB=2BD，又DF=DE，∴EF=DE+DF=2DE，
∴AB=EF。
∵四边形AFBE是平行四边形，且对角线AB=EF，
∴四边形AFBE是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）。