4. (★★) 如图，在△ABC中，AB = AC，AD是BC边上的中线，点E在DA的延长线上，连接BE，过点C作CF//BE交AD的延长线于点F，连接BF，CE. 求证：四边形BECF是菱形.

证明：
因为$AB = AC$，$AD$是$BC$边上的中线，
所以$AD⊥ BC$，$BD = DC$，
所以$∠ EDB=∠ FDC = 90^{\circ}$，
因为$CF// BE$，
所以$∠ EBD=∠ FCD$，
在$△ BED$和$△ CFD$中，
$\begin{cases}∠ EDB = ∠ FDC\\BD = DC\\∠ EBD=∠ FCD\end{cases}$
所以$△ BED≌△ CFD(ASA)$，
所以$ED = FD$，
又因为$BD = DC$，
所以四边形$BECF$是平行四边形，
因为$EF⊥ BC$，
所以四边形$BECF$是菱形。

5. (★★) 如图，已知点A，D，C，B在同一条直线上，且AD = BC，AE = BF，CE = DF.
(1) 求证：AE//BF；
(2) 若DF = FC，求证：四边形DECF是菱形.

(1) ∵点A，D，C，B在同一直线上，AD=BC，∴AD+DC=BC+DC，即AC=BD。
在△ACE和△BDF中，
$\{\begin{array}{l} AE=BF\\ CE=DF\\ AC=BD\end{array} $，
∴△ACE≌△BDF(SSS)。
∴∠A=∠B。
∴AE//BF(同位角相等，两直线平行)。
(2) 由(1)知△ACE≌△BDF，∴∠ACE=∠BDF。
∵点A，D，C，B在同一直线上，∴∠ACE与∠BDF是直线AB截CE，DF所得的同位角，
∴CE//DF。
又∵CE=DF，∴四边形DECF是平行四边形。
∵DF=FC，且CE=DF，∴CE=FC。
∴平行四边形DECF是菱形(有一组邻边相等的平行四边形是菱形)。

6. (★★) 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使CF = BE，连接DF.
(1) 求证：四边形AEFD是矩形；
(2) 连接DE，若AD = 4，EC = 1，求DE的长度.

(1) 见证明；(2) √23。

(1) 证明：
∵四边形ABCD是菱形，∴AD=BC，AD//BC。
∵F在BC延长线上，∴AD//EF。
∵CF=BE，∴EF=EC+CF=EC+BE=BC=AD。
∴四边形AEFD是平行四边形（一组对边平行且相等）。
∵AE⊥BC，∴∠AEF=90°。
∴平行四边形AEFD是矩形。
(2) 解：
∵菱形ABCD中，AD=4，∴BC=AD=4。
∵EC=1，∴BE=BC-EC=4-1=3。
∵AE⊥BC，∴在Rt△ABE中，AE²=AB²-BE²=4²-3²=7，∴AE=√7。
∵四边形AEFD是矩形，∴EF=AD=4，DF=AE=√7，∠DFE=90°。
在Rt△DEF中，DE²=EF²+DF²=4²+(√7)²=16+7=23，∴DE=√23。