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7. (★★) 如图，在 $△ ABC$ 中，$AB = AC$ 且 $AD ⊥ BC$ 于点 $D$，$EF$ 垂直平分 $AC$，与 $BC$ 交于点 $E$，与 $AC$ 交于点 $F$，若 $AB = 5$，$BC = 8$，则 $ED$ 的长为【 】
A.$\dfrac{3}{4}$
B.$\dfrac{7}{8}$
C.$1$
D.$\dfrac{9}{8}$
A.$\dfrac{3}{4}$
B.$\dfrac{7}{8}$
C.$1$
D.$\dfrac{9}{8}$
答案
B
解析
∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=DC=BC/2=4（三线合一）。
在Rt△ABD中，AD²=AB²-BD²=5²-4²=9，∴AD=3。
设EC=EA=y，∵EF垂直平分AC，∴EA=EC=y。
∵E在BC上，DC=4，∴ED=DC-EC=4-y。
在Rt△ADE中，AD²+ED²=AE²，即3²+(4-y)²=y²。
解得y=25/8，∴ED=4-25/8=7/8。
8. (★★) 如图，一块长、宽、高分别是 $6\ \mathrm{cm}$，$4\ \mathrm{cm}$ 和 $3\ \mathrm{cm}$ 的长方体木块，一只蚂蚁要从长
方体木块的一个顶点$A$处，沿着长方体的表面爬到长方体上和$A$相对的顶点$B$处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是【 】
A.$(3 + 2\sqrt{13})\mathrm{cm}$
B.$\sqrt{97}\mathrm{cm}$
C.$\sqrt{85}\mathrm{cm}$
D.$\sqrt{109}\mathrm{cm}$
方体木块的一个顶点$A$处，沿着长方体的表面爬到长方体上和$A$相对的顶点$B$处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是【 】
A.$(3 + 2\sqrt{13})\mathrm{cm}$
B.$\sqrt{97}\mathrm{cm}$
C.$\sqrt{85}\mathrm{cm}$
D.$\sqrt{109}\mathrm{cm}$
答案
C
解析
将长方体表面展开，蚂蚁爬行路径为平面上A、B两点间的线段，有三种展开方式：
1. 展开长和宽所在面，直角边为$6+4=10$cm和$3$cm，路径长$\sqrt{10^2+3^2}=\sqrt{109}$cm；
2. 展开长和高所在面，直角边为$6+3=9$cm和$4$cm，路径长$\sqrt{9^2+4^2}=\sqrt{97}$cm；
3. 展开宽和高所在面，直角边为$4+3=7$cm和$6$cm，路径长$\sqrt{7^2+6^2}=\sqrt{85}$cm。
比较得最短路径为$\sqrt{85}$cm。
1. 展开长和宽所在面，直角边为$6+4=10$cm和$3$cm，路径长$\sqrt{10^2+3^2}=\sqrt{109}$cm；
2. 展开长和高所在面，直角边为$6+3=9$cm和$4$cm，路径长$\sqrt{9^2+4^2}=\sqrt{97}$cm；
3. 展开宽和高所在面，直角边为$4+3=7$cm和$6$cm，路径长$\sqrt{7^2+6^2}=\sqrt{85}$cm。
比较得最短路径为$\sqrt{85}$cm。
9. ($\star\star$)如图，$B$为$x$轴上的一个动点，点$A$的坐标为$(0,4)$，点$C$的坐标为$(4,1)$，若$△ ABC$为直角三角形，且$AC$为其中一条直角边，则点$B$的坐标为.
答案
(-3,0)或(13/4,0)
解析
设点B的坐标为(x,0)。
情况1：∠A为直角（AC⊥AB）
向量AC=(4-0,1-4)=(4,-3)，向量AB=(x-0,0-4)=(x,-4)。
∵AC⊥AB，∴AC·AB=0，即4x + (-3)(-4)=0，4x+12=0，解得x=-3。此时B(-3,0)。
情况2：∠C为直角（AC⊥BC）
向量AC=(4,-3)，向量BC=(x-4,0-1)=(x-4,-1)。
∵AC⊥BC，∴AC·BC=0，即4(x-4) + (-3)(-1)=0，4x-16+3=0，解得x=13/4。此时B(13/4,0)。
综上，点B的坐标为(-3,0)或(13/4,0)。
情况1：∠A为直角（AC⊥AB）
向量AC=(4-0,1-4)=(4,-3)，向量AB=(x-0,0-4)=(x,-4)。
∵AC⊥AB，∴AC·AB=0，即4x + (-3)(-4)=0，4x+12=0，解得x=-3。此时B(-3,0)。
情况2：∠C为直角（AC⊥BC）
向量AC=(4,-3)，向量BC=(x-4,0-1)=(x-4,-1)。
∵AC⊥BC，∴AC·BC=0，即4(x-4) + (-3)(-1)=0，4x-16+3=0，解得x=13/4。此时B(13/4,0)。
综上，点B的坐标为(-3,0)或(13/4,0)。
10. (★★) 如图，网格中每个小正方形的边长均为 1，点 A，B，C 都在格点上，以点 A 为圆心，AB 长为半径画弧，交最上方的网格线于点 D，则 CD 的长为。
]
]答案
1
解析
以点A为原点建立平面直角坐标系，设A(0,0)。由网格可知B(2,1)，则AB=√(2²+1²)=√5。最上方网格线为y=2，设D(x,2)，因AD=AB=√5，故x²+2²=(√5)²，解得x=1（x=-1舍去），即D(1,2)。又C(2,2)，所以CD=|2-1|=1。
11. (★★) 如图，赵爽弦图是由四个全等的直角三角形拼成的一个大正方形。设直角三角形的两条直角边长分别为 m，n(m ＞ n)，若中间小正方形的面积为 7，$(m + n)^2 = 31$，则大正方形的边长为。
]
]
答案
$\sqrt{19}$
解析
由题意知，中间小正方形边长为$m - n$，其面积$(m - n)^2 = 7$。又$(m + n)^2 = 31$，展开得$m^2 + 2mn + n^2 = 31$。$(m - n)^2 = m^2 - 2mn + n^2 = 7$。两式相加：$2(m^2 + n^2) = 38$，则$m^2 + n^2 = 19$。大正方形边长为直角三角形斜边长，由勾股定理得斜边长$\sqrt{m^2 + n^2} = \sqrt{19}$。
12. (★★) 如图，在$△ ABC$中，点 P 在$△ ABC$内部，$AB = AC = 13$，$BP ⊥ CP$，$BP = 8$，$CP = 6$，则阴影部分的面积为。
]
]答案
36
解析
在Rt△BPC中，BP=8，CP=6，∠BPC=90°，则S△BPC=(1/2)×8×6=24；由勾股定理得BC=√(8²+6²)=10。△ABC中，AB=AC=13，BC=10，作AD⊥BC于D，BD=5，AD=√(13²-5²)=12，S△ABC=(1/2)×10×12=60。阴影部分面积=S△ABC - S△BPC=60-24=36。
13. (★★) 如图，在$△ ABC$中，$∠ ABC = 135°$，AD 是高。若$AB = 3\sqrt{2}$，$BC = 1$，求 AC 的长。
]
]答案
5
解析
在△ABC中，∠ABC=135°，AD是高，故D在CB延长线上，∠ABD=180°-135°=45°。
在Rt△ABD中，∠ADB=90°，∠ABD=45°，AB=3√2，设AD=BD=h。由勾股定理：h²+h²=(3√2)²，即2h²=18，解得h=3。
BC=1，CD=BD+BC=3+1=4。
在Rt△ADC中，AD=3，CD=4，由勾股定理：AC²=AD²+CD²=3²+4²=25，故AC=5。
在Rt△ABD中，∠ADB=90°，∠ABD=45°，AB=3√2，设AD=BD=h。由勾股定理：h²+h²=(3√2)²，即2h²=18，解得h=3。
BC=1，CD=BD+BC=3+1=4。
在Rt△ADC中，AD=3，CD=4，由勾股定理：AC²=AD²+CD²=3²+4²=25，故AC=5。
