4. (★★)如图,在△ABC中,CD是AB边上的高,AC = 9,BC = 12,AB = 15.
(1)求CD的长;
(2)过点A作∠CAB的平分线交BC边于点E,求△AEB的面积.

(1) 36/5；(2) 135/4。

(1) 在△ABC中，AC=9，BC=12，AB=15，
∵AC²+BC²=9²+12²=81+144=225=15²=AB²，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB=90°。
∵CD是AB边上的高，
∴S△ABC=1/2·AC·BC=1/2·AB·CD，
即1/2×9×12=1/2×15×CD，
解得CD=36/5。
(2) ∵AE平分∠CAB，
∴由角平分线定理得BE/EC=AB/AC=15/9=5/3。
设BE=5k，EC=3k，
∵BE+EC=BC=12，
∴5k+3k=12，解得k=3/2，
∴BE=5k=15/2。
∵∠ACB=90°，AC⊥BC，
∴S△AEB=1/2·BE·AC=1/2×15/2×9=135/4。

5. (★★)如图,在△ABC中,AC = 6,BC = 8,AB = 10,D,E分别为边AB,BC上的点,连接CD,DE,AE,且AE垂直平分CD,垂足为F.
(1)判断△ADE的形状,并说明理由;
(2)求BE的长.

1. （1）判断$△ ADE$的形状：
解：$△ ADE$是等腰三角形。
理由：
因为$AE$垂直平分$CD$，根据垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，所以$AC = AD$，$CE=DE$。
又因为$∠ AFE=∠ AFD = 90^{\circ}$，在$△ AFE$和$△ AFD$中，$\{\begin{array}{l}AF = AF\\∠ AFE=∠ AFD\\FE = FD\end{array} $（垂直平分线定义），所以$△ AFE≌△ AFD(SAS)$。
则$∠ DAE=∠ CAE$。
在$△ ACE$和$△ ADE$中，$\{\begin{array}{l}AC = AD\\∠ CAE=∠ DAE\\AE = AE\end{array} $，所以$△ ACE≌△ ADE(SAS)$。
所以$CE = DE$，$∠ ADE=∠ ACE$。
已知$AC = 6$，$BC = 8$，$AB = 10$，满足$AC^{2}+BC^{2}=6^{2}+8^{2}=36 + 64=100=10^{2}=AB^{2}$，根据勾股定理逆定理，$∠ ACB = 90^{\circ}$。
所以$∠ ADE=∠ ACE = 90^{\circ}$，$AD = AC$，$DE = CE$，$△ ADE$是等腰直角三角形。
2. （2）求$BE$的长：
解：设$BE=x$，则$CE = 8 - x$，$DE = 8 - x$。
因为$AD = AC = 6$，所以$BD=AB - AD=10 - 6 = 4$。
在$Rt△ BDE$中，根据勾股定理$BD^{2}+DE^{2}=BE^{2}$（这里$∠ BDE = 90^{\circ}$，由$∠ ADE = 90^{\circ}$可得）。
即$4^{2}+(8 - x)^{2}=x^{2}$。
展开式子得$16+64-16x+x^{2}=x^{2}$。
移项：$x^{2}-x^{2}+16x=16 + 64$。
合并同类项得$16x=80$。
解得$x = 5$。
所以（1）$△ ADE$是等腰直角三角形；（2）$BE$的长为$5$。

6. (★★) 如图，在长方形 $ABCD$ 中，$AD = 5$，$AB = 6$，$E$ 为射线 $DC$ 上一个动点，把 $△ ADE$ 沿直线 $AE$ 折叠，当点 $D$ 对应点 $D'$ 刚好落在线段 $AB$ 的垂直平分线上时，$DE$ 的长为。

5/3或15

建立坐标系，设A(0,0)，B(6,0)，D(0,5)，C(6,5)。AB垂直平分线为x=3，设D'(3,y)。由折叠性质AD=AD'=5，得√(3²+y²)=5，解得y=±4。
当y=4时，D'(3,4)。设E(t,5)，DE=t，D'E=√[(t-3)²+(5-4)²]，则t=√[(t-3)²+1]，解得t=5/3。
当y=-4时，D'(3,-4)。同理，t=√[(t-3)²+(5+4)²]，解得t=15。
综上，DE=5/3或15。