知识建构

填空：
① ② ③
④ ⑤

①$a^2+b^2=c^2$
②$a^2+b^2=c^2$
③直角三角形
④17
⑤25

①根据勾股定理，直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么$a^2+b^2=c^2$。
②根据勾股定理的逆定理，如果三角形的三边长a，b，c满足$a^2+b^2=c^2$。
③根据勾股定理的逆定理，满足$a^2+b^2=c^2$的三角形为直角三角形。
④根据勾股数的定义，8和15为直角边，那么斜边为$\sqrt{8^2+15^2} =17$，所以勾股数为8，15，17。
⑤根据勾股数的定义，7和24为直角边，那么斜边为$\sqrt{7^2+24^2}=25$，所以勾股数为7，24，25。

1. (★★)(1)如图①,在△ABC中,∠C = 90°,BC = 2,以AB为一条边向三角形外部作正方形.已知正方形的面积是16,则AC的长是.

(2)如图②,在Rt△ABC中,∠ACB = 90°,AC = 4,BC = 3,分别以各边为直径作半圆,则图中阴影部分的面积为.

2√3;6

(1) 因为正方形面积为16，所以正方形边长AB=4。在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2，由勾股定理得AC²+BC²=AB²，即AC²+2²=4²，AC²=16-4=12，AC=2√3。
(2) 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，AB=5。阴影面积=以AC为直径的半圆面积+以BC为直径的半圆面积+△ABC面积-以AB为直径的半圆面积。计算得：(1/2)π(2)²+(1/2)π(1.5)²+6-(1/2)π(2.5)²=2π+ (9/8)π+6 - (25/8)π=6。

2. (★★)如图,某会展中心准备将高5m,长13m,宽2m的楼道铺上地毯,若地毯每平方米30元,则铺完这个楼道至少需要元.

1020

解：
1. 计算地毯的长度
楼道的侧面为直角三角形，其中高 $ BC = 5\,\mathrm{m} $，斜边 $ AC = 13\,\mathrm{m} $。
由勾股定理得：
$ AB = \sqrt{AC^2 - BC^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12\,\mathrm{m} $。
地毯的长度 = 水平长度 $ AB + $ 垂直高度 $ BC = 12 + 5 = 17\,\mathrm{m} $。
2. 计算地毯的面积
楼道宽 $ 2\,\mathrm{m} $，地毯面积 = 长度 × 宽度 = $ 17 × 2 = 34\,\mathrm{m}^2 $。
3. 计算总费用
每平方米地毯 30 元，总费用 = $ 34 × 30 = 1020\,\mathrm{元} $。

3. (★★)如图,在△ABC中,∠C = 90°,AC = 4,BC = 6,D为AC边上一点,且AD = 3,以点D为圆心,DA长为半径作弧,交AB于点E,连接DE,再分别以点B,E为圆心,大于$\frac{1}{2}BE$的长为半径作弧,两弧相交于点M,N,作直线MN交BC于点F,则BF的值为.

在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=6，以C为原点建立坐标系，C(0,0)，A(0,4)，B(6,0)。
D为AC上一点，AD=3，故D(0,1)。以D为圆心，DA=3为半径作圆，方程为$x^2+(y-1)^2=9$。
直线AB：A(0,4)，B(6,0)，斜率$k=-\frac{2}{3}$，方程$y=-\frac{2}{3}x+4$。
联立圆与AB方程：$x^2+(-\frac{2}{3}x+3)^2=9$，解得$x=0$（A点）或$x=\frac{36}{13}$，则E$(\frac{36}{13},\frac{28}{13})$。
MN为BE垂直平分线，设F在BC上，坐标$(6-x,0)$，BF=x，FE=FB=x。
由距离公式：$x^2=(\frac{36}{13}-(6-x))^2+(\frac{28}{13})^2$，解得$x=\frac{7}{3}$。
$\frac{7}{3}$