14. (★) 已知$△ ABC$的三边长分别是 a，b，c，满足下列条件的三角形不是直角三角形的是【 】

A.$b^2 = c^2 - a^2$
B.$a : b : c = 3 : 4 : 5$
C.$∠ C = ∠ A - ∠ B$
D.$∠ A : ∠ B : ∠ C = 12 : 13 : 5$

D

A. 由$b^2 = c^2 - a^2$，可以推导出$a^2 + b^2 = c^2$，根据勾股定理的逆定理，该三角形是直角三角形，故A选项不符合题意。
B. 设$a = 3x, b = 4x, c = 5x$，代入勾股定理有$(3x)^2 + (4x)^2 = (5x)^2$，即$9x^2 + 16x^2 = 25x^2$，等式成立，所以该三角形是直角三角形，故B选项不符合题意。
C. 由$∠ C = ∠ A - ∠ B$，且三角形内角和为$180°$，即$∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°$，将$∠ C$的表达式代入，得到$∠ A + ∠ B + (∠ A - ∠ B) = 180°$，化简得$2∠ A = 180°$，即$∠ A = 90°$，所以该三角形是直角三角形，故C选项不符合题意。
D. 设$∠ A = 12x, ∠ B = 13x, ∠ C = 5x$，由三角形内角和为$180°$，有$12x + 13x + 5x = 180°$，解得$x = 6°$（或$x=0.1× 6=0.6× 10^{-1} ×180°/30=6°$（按比例计算，不影响结果）），所以$∠ A = 72°, ∠ B = 78°, ∠ C = 30°$，没有$90°$的角，不是直角三角形，故D选项符合题意。

15. (★★) 如图，在网格图（每个小方格均是边长为 1 的正方形）中，以 AB 为一边作直角三角形 ABC，要求顶点 C 在格点上，则图中不符合条件的点是【 】

A.$C_1$
B.$C_2$
C.$C_3$
D.$C_4$

B

题目要求判断哪个点不符合条件作为直角三角形ABC的顶点C。直角三角形的条件是AB为一边，顶点C在格点上，且三角形ABC为直角三角形。
利用勾股定理逆定理进行判断：
1. 若AB为直角边，计算其他两边的平方和是否等于斜边的平方。
2. 若AB为斜边，计算两直角边的平方和是否等于AB的平方。
具体步骤如下：
点C1：计算AC1、BC1的长度，验证是否满足勾股定理。
点C2：计算AC2、BC2的长度，验证是否满足勾股定理。
点C3：计算AC3、BC3的长度，验证是否满足勾股定理。
点C4：计算AC4、BC4的长度，验证是否满足勾股定理。
通过计算，发现点C1、C3、C4均可以构成直角三角形，而点C2不能构成直角三角形。

16. (★★) 小明在读《周髀算经》时，得到了如下数表：

(1) 请你用含 n 的代数式写出：$a =$，$b =$，$c =$；
(2) 判断以 a，b，c 为边的三角形是否为直角三角形，并说明理由。

(1) $a = n^2 - 1$，$b = 2n$，$c = n^2 + 1$；
(2) 是直角三角形。理由如下：
$a^2 + b^2 = (n^2 - 1)^2 + (2n)^2 = n^4 - 2n^2 + 1 + 4n^2 = n^4 + 2n^2 + 1$，
$c^2 = (n^2 + 1)^2 = n^4 + 2n^2 + 1$，
$\therefore a^2 + b^2 = c^2$，
故以$a$，$b$，$c$为边的三角形是直角三角形。

17. (★★) 如图，在$△ ABC$中，$AB = AC$，D 是 AC 上的一点，$BC = 15$，$CD = 9$，$BD = 12$。
(1) 求证：$△ BDC$是直角三角形；
(2) 求 AB 的长。
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(1) 证明：在△BDC中，CD=9，BD=12，BC=15。
∵ $9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225 = 15^2$，即 $CD^2 + BD^2 = BC^2$，
∴ △BDC是直角三角形，且∠BDC=90°。
(2) 设AB=AC=x，则AD=AC-CD=x-9。
∵ ∠BDC=90°，∴ ∠ADB=180°-∠BDC=90°，即△ADB是直角三角形。
在Rt△ADB中，由勾股定理得：$AD^2 + BD^2 = AB^2$，
即 $(x - 9)^2 + 12^2 = x^2$，
展开得：$x^2 - 18x + 81 + 144 = x^2$，
化简得：$-18x + 225 = 0$，
解得：$x = 12.5$。
∴ AB的长为12.5。