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1. 下列图形中，线段 BE 是△ABC 的高的是(
A
B
C
D
D
)A
B
C
D
答案
1. D
解析
【分析】
要判断线段BE是否是△ABC的高，需依据三角形高的定义：从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点与垂足之间的线段即为该边上的高。我们需要逐一分析每个选项，看BE是否是从点B向△ABC的边AC作的垂线，且垂足在AC（或AC的延长线）上：
1. 选项A：BE垂直于BC，并非垂直于AC，不符合高的定义；
2. 选项B：BE垂直于AB，并非垂直于AC，不符合高的定义；
3. 选项C：BE与AC不垂直，不符合高的定义；
4. 选项D：BE垂直于AC，垂足E在AC上，符合△ABC中AC边上的高的定义。
【解析】
根据三角形高的定义：从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。
选项A：BE⊥BC，不是AC边上的高；
选项B：BE⊥AB，不是AC边上的高；
选项C：BE与AC不垂直，不是AC边上的高；
选项D：BE⊥AC，且E在AC上，是△ABC中AC边上的高。
因此符合条件的是选项D。
【答案】
D
【知识点】
三角形的高的定义
【点评】
本题主要考查三角形高的定义，解题的关键是准确理解高的概念，即从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点与垂足间的线段为该边的高，注意垂足需在对边（或对边的延长线）上。
【难度系数】
0.8
要判断线段BE是否是△ABC的高，需依据三角形高的定义：从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点与垂足之间的线段即为该边上的高。我们需要逐一分析每个选项，看BE是否是从点B向△ABC的边AC作的垂线，且垂足在AC（或AC的延长线）上：
1. 选项A：BE垂直于BC，并非垂直于AC，不符合高的定义；
2. 选项B：BE垂直于AB，并非垂直于AC，不符合高的定义；
3. 选项C：BE与AC不垂直，不符合高的定义；
4. 选项D：BE垂直于AC，垂足E在AC上，符合△ABC中AC边上的高的定义。
【解析】
根据三角形高的定义：从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。
选项A：BE⊥BC，不是AC边上的高；
选项B：BE⊥AB，不是AC边上的高；
选项C：BE与AC不垂直，不是AC边上的高；
选项D：BE⊥AC，且E在AC上，是△ABC中AC边上的高。
因此符合条件的是选项D。
【答案】
D
【知识点】
三角形的高的定义
【点评】
本题主要考查三角形高的定义，解题的关键是准确理解高的概念，即从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点与垂足间的线段为该边的高，注意垂足需在对边（或对边的延长线）上。
【难度系数】
0.8
2. 如图，在△ABC 中，AD 平分△BAC 交 BC 于点 D，∠B=30°，∠C=70°，则∠ADC 的度数是(
A.50°
B.60°
C.70°
D.80°
C
)A.50°
B.60°
C.70°
D.80°
答案
2. C
解析
【分析】
要计算∠ADC的度数，可按以下思路推导：首先利用三角形内角和定理求出∠BAC的度数，再根据角平分线的定义得到∠BAD（或∠CAD）的度数，最后通过三角形外角性质或三角形内角和定理求出∠ADC的度数。具体步骤为：
1. 结合已知的∠B和∠C，用三角形内角和为180°算出∠BAC；
2. 由AD平分∠BAC，得出∠BAD的度数；
3. 利用三角形外角等于不相邻两个内角和，或在△ADC中用内角和计算∠ADC。
【解析】
1. 在△ABC中，根据三角形内角和定理：
∠BAC = 180° - ∠B - ∠C = 180° - 30° - 70° = 80°；
2. 因为AD平分∠BAC，根据角平分线的定义：
∠BAD = $\frac{1}{2}$∠BAC = $\frac{1}{2}$×80° = 40°；
3. 根据三角形外角的性质，∠ADC是△ABD的外角，因此：
∠ADC = ∠B + ∠BAD = 30° + 40° = 70°。
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角性质
【点评】
本题考查三角形的基础性质，解题关键是熟练运用三角形内角和定理、角平分线定义及外角性质，属于基础题型，理清角度间的数量关系即可轻松求解。
【难度系数】
0.7
要计算∠ADC的度数，可按以下思路推导：首先利用三角形内角和定理求出∠BAC的度数，再根据角平分线的定义得到∠BAD（或∠CAD）的度数，最后通过三角形外角性质或三角形内角和定理求出∠ADC的度数。具体步骤为：
1. 结合已知的∠B和∠C，用三角形内角和为180°算出∠BAC；
2. 由AD平分∠BAC，得出∠BAD的度数；
3. 利用三角形外角等于不相邻两个内角和，或在△ADC中用内角和计算∠ADC。
【解析】
1. 在△ABC中，根据三角形内角和定理：
∠BAC = 180° - ∠B - ∠C = 180° - 30° - 70° = 80°；
2. 因为AD平分∠BAC，根据角平分线的定义：
∠BAD = $\frac{1}{2}$∠BAC = $\frac{1}{2}$×80° = 40°；
3. 根据三角形外角的性质，∠ADC是△ABD的外角，因此：
∠ADC = ∠B + ∠BAD = 30° + 40° = 70°。
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角性质
【点评】
本题考查三角形的基础性质，解题关键是熟练运用三角形内角和定理、角平分线定义及外角性质，属于基础题型，理清角度间的数量关系即可轻松求解。
【难度系数】
0.7
3. 如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是(
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.都不对
B
)A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.都不对
答案
3. B
解析
【分析】
首先我们需要回忆不同类型三角形三条高的交点位置：锐角三角形的三条高都在三角形内部，它们的交点也在三角形内部；钝角三角形有两条高在三角形外部，三条高的交点在三角形外部；而直角三角形的两条直角边本身就是两条高，第三条高在三角形内部，这三条高的交点恰好是直角顶点。题目中说三条高的交点恰是三角形的一个顶点，符合直角三角形的特征，所以可以判断是直角三角形。
【解析】
逐一分析选项：
A选项：锐角三角形三条高的交点在三角形内部，不是顶点，不符合题意；
B选项：直角三角形的两条直角边为两条高，它们的交点是直角顶点，第三条高从直角顶点向斜边作，三条高的交点就是直角顶点，符合题意；
C选项：钝角三角形三条高的交点在三角形外部，不是顶点，不符合题意；
D选项：因为B选项正确，所以D错误。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形的高的性质
【点评】
本题考查不同类型三角形高的交点位置，属于基础几何知识点，需要熟练掌握锐角、直角、钝角三角形高的分布特点，这是判断三角形类型的重要依据之一。
【难度系数】
0.8
首先我们需要回忆不同类型三角形三条高的交点位置：锐角三角形的三条高都在三角形内部，它们的交点也在三角形内部；钝角三角形有两条高在三角形外部，三条高的交点在三角形外部；而直角三角形的两条直角边本身就是两条高，第三条高在三角形内部，这三条高的交点恰好是直角顶点。题目中说三条高的交点恰是三角形的一个顶点，符合直角三角形的特征，所以可以判断是直角三角形。
【解析】
逐一分析选项：
A选项：锐角三角形三条高的交点在三角形内部，不是顶点，不符合题意；
B选项：直角三角形的两条直角边为两条高，它们的交点是直角顶点，第三条高从直角顶点向斜边作，三条高的交点就是直角顶点，符合题意；
C选项：钝角三角形三条高的交点在三角形外部，不是顶点，不符合题意；
D选项：因为B选项正确，所以D错误。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形的高的性质
【点评】
本题考查不同类型三角形高的交点位置，属于基础几何知识点，需要熟练掌握锐角、直角、钝角三角形高的分布特点，这是判断三角形类型的重要依据之一。
【难度系数】
0.8
4. AD 是△ABC 的角平分线(D 在 BC 所在直线上)，那么∠BAD=
∠DAC
= $\frac{1}{2}$∠BAC
；AE 是△ABC 的中线(E 在 BC 所在直线上)，那么 BE=CE
=$\frac{1}{2}$
BC.答案
4. ∠DAC ∠BAC CE $\frac{1}{2}$
解析
【分析】
要解决这道题，需紧扣三角形角平分线和中线的定义来思考：
1. 对于三角形角平分线，它的作用是将三角形的一个内角分成两个相等的角，所以AD作为△ABC的角平分线，必然把∠BAC分成两个相等的角，由此可推出∠BAD与另一个角的关系，以及和∠BAC的比例关系；
2. 对于三角形中线，它是连接顶点与对边中点的线段，中点会把对边分成两段长度相等的线段，所以AE作为△ABC的中线，E是BC的中点，进而能得出BE与其他线段的关系。
【解析】
1. 根据三角形角平分线的定义：角平分线将三角形的一个内角分成两个相等的角，
因为AD是△ABC的角平分线，所以∠BAD = ∠DAC = $\frac{1}{2}$∠BAC；
2. 根据三角形中线的定义：中线连接顶点与对边中点，中点将对边分成相等的两段，
因为AE是△ABC的中线，所以BE = CE = $\frac{1}{2}$BC。
【答案】
∠DAC；∠BAC；CE；$\frac{1}{2}$
【知识点】
三角形角平分线定义；三角形中线定义
【点评】
本题是三角形基本概念的基础题，主要考查角平分线和中线的核心定义，准确理解这两个定义是解题的关键，同时这也是学习三角形后续性质的重要铺垫。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，需紧扣三角形角平分线和中线的定义来思考：
1. 对于三角形角平分线，它的作用是将三角形的一个内角分成两个相等的角，所以AD作为△ABC的角平分线，必然把∠BAC分成两个相等的角，由此可推出∠BAD与另一个角的关系，以及和∠BAC的比例关系；
2. 对于三角形中线，它是连接顶点与对边中点的线段，中点会把对边分成两段长度相等的线段，所以AE作为△ABC的中线，E是BC的中点，进而能得出BE与其他线段的关系。
【解析】
1. 根据三角形角平分线的定义：角平分线将三角形的一个内角分成两个相等的角，
因为AD是△ABC的角平分线，所以∠BAD = ∠DAC = $\frac{1}{2}$∠BAC；
2. 根据三角形中线的定义：中线连接顶点与对边中点，中点将对边分成相等的两段，
因为AE是△ABC的中线，所以BE = CE = $\frac{1}{2}$BC。
【答案】
∠DAC；∠BAC；CE；$\frac{1}{2}$
【知识点】
三角形角平分线定义；三角形中线定义
【点评】
本题是三角形基本概念的基础题，主要考查角平分线和中线的核心定义，准确理解这两个定义是解题的关键，同时这也是学习三角形后续性质的重要铺垫。
【难度系数】
0.9
5. 已知，AD 是 BC 边上的中线，AB=5 cm，AD=4 cm，△ABD 的周长是12 cm，求 BC 的长.
答案
5. 解:因为 $AB = 5\mathrm{cm}$，$AD = 4\mathrm{cm}$，$△ ABD$ 的周长是 $12\mathrm{cm}$。
所以 $BD = 12-(AB + AD)$
$= 12-(5 + 4)$
$= 3$
又因为 $AD$ 是 $BC$ 边上的中线
所以 $BC = 2BD$
$= 2×3$
$= 6(\mathrm{cm})$
所以 $BD = 12-(AB + AD)$
$= 12-(5 + 4)$
$= 3$
又因为 $AD$ 是 $BC$ 边上的中线
所以 $BC = 2BD$
$= 2×3$
$= 6(\mathrm{cm})$
解析
【分析】
要计算BC的长，已知AD是BC边上的中线，根据中线的定义可知BC=2BD，所以关键是先求出BD的长度。已知△ABD的周长以及AB、AD的长度，根据三角形周长的定义（三角形的周长是三边长度之和），可以通过周长减去AB和AD的长度得到BD的长度，进而求出BC的长。
【解析】
已知$AB = 5\mathrm{cm}$，$AD = 4\mathrm{cm}$，$△ ABD$的周长是$12\mathrm{cm}$。
根据三角形周长的定义，$△ ABD$的周长为$AB+AD+BD$，因此：
$BD = 12-(AB + AD)$
$= 12-(5 + 4)$
$= 3(\mathrm{cm})$
因为AD是BC边上的中线，根据中线的定义，中线将对边分成相等的两段，即$BC = 2BD$，所以：
$BC = 2×3 = 6(\mathrm{cm})$
【答案】
$\boldsymbol{6\mathrm{cm}}$
【知识点】
1. 三角形周长计算
2. 三角形中线定义
【点评】
本题是基础几何题，主要考查三角形周长的概念和三角形中线的定义，解题的关键是利用周长公式求出BD的长度，再结合中线的性质得到BC的长度，需要熟练掌握基本几何概念并灵活运用。
【难度系数】
0.9
要计算BC的长，已知AD是BC边上的中线，根据中线的定义可知BC=2BD，所以关键是先求出BD的长度。已知△ABD的周长以及AB、AD的长度，根据三角形周长的定义（三角形的周长是三边长度之和），可以通过周长减去AB和AD的长度得到BD的长度，进而求出BC的长。
【解析】
已知$AB = 5\mathrm{cm}$，$AD = 4\mathrm{cm}$，$△ ABD$的周长是$12\mathrm{cm}$。
根据三角形周长的定义，$△ ABD$的周长为$AB+AD+BD$，因此：
$BD = 12-(AB + AD)$
$= 12-(5 + 4)$
$= 3(\mathrm{cm})$
因为AD是BC边上的中线，根据中线的定义，中线将对边分成相等的两段，即$BC = 2BD$，所以：
$BC = 2×3 = 6(\mathrm{cm})$
【答案】
$\boldsymbol{6\mathrm{cm}}$
【知识点】
1. 三角形周长计算
2. 三角形中线定义
【点评】
本题是基础几何题，主要考查三角形周长的概念和三角形中线的定义，解题的关键是利用周长公式求出BD的长度，再结合中线的性质得到BC的长度，需要熟练掌握基本几何概念并灵活运用。
【难度系数】
0.9
6. 按下列步骤画图，并回答问题：
(1)作△ABC 的中线 AD；
(2)画△ABD 的高 BE 及△ACD 的高 CF；
(3)用刻度尺或圆规比较 BE 和 CF 的大小：BE
(1)作△ABC 的中线 AD；
(2)画△ABD 的高 BE 及△ACD 的高 CF；
(3)用刻度尺或圆规比较 BE 和 CF 的大小：BE
=
CF(填“＞”“＜”或“=”).答案
6. 解:(1)(2)如图所示。
(3)=
解析
【分析】
1. 作△ABC的中线AD：根据中线定义，中线是连接三角形顶点与对边中点的线段，因此先找到BC边的中点D，再连接AD即可。
2. 画△ABD的高BE和△ACD的高CF：依据三角形高的定义，从三角形顶点向对边（或对边所在直线）作垂线，顶点与垂足间的线段为高，所以分别从B向AD作垂线得BE，从C向AD（或其延长线）作垂线得CF。
3. 比较BE和CF的大小：利用面积法分析，AD是中线则BD=CD，△ABD和△ACD同高（从A到BC的距离），故面积相等；又因为两个三角形的面积也可表示为$\frac{1}{2}×AD×BE$和$\frac{1}{2}×AD×CF$，由此可推出BE=CF。
【解析】
(1) 用刻度尺测量BC的长度，确定BC的中点D，连接AD，线段AD即为△ABC的中线；
(2) 过点B作直线AD的垂线，垂足为E，线段BE就是△ABD的高；过点C作直线AD的垂线（若AD长度不足可延长AD），垂足为F，线段CF就是△ACD的高；
(3) 因为AD是△ABC的中线，所以$BD=CD$，△ABD和△ACD的高相同（从A到BC的距离），根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，可知$S_{△ABD}=S_{△ACD}$；
又因为$S_{△ABD}=\frac{1}{2}×AD×BE$，$S_{△ACD}=\frac{1}{2}×AD×CF$，所以$\frac{1}{2}×AD×BE=\frac{1}{2}×AD×CF$，两边同时除以$\frac{1}{2}×AD$，可得$BE=CF$。
【答案】
(1)(2)如图所示。
(3)=
【知识点】
三角形的中线，三角形的高，三角形面积公式
【点评】
本题考查三角形中线、高的作图方法，以及利用面积法比较线段长度，需要熟练掌握相关定义与面积公式，既锻炼基本作图能力，也培养逻辑推理与知识应用能力。
【难度系数】
0.7
1. 作△ABC的中线AD：根据中线定义，中线是连接三角形顶点与对边中点的线段，因此先找到BC边的中点D，再连接AD即可。
2. 画△ABD的高BE和△ACD的高CF：依据三角形高的定义，从三角形顶点向对边（或对边所在直线）作垂线，顶点与垂足间的线段为高，所以分别从B向AD作垂线得BE，从C向AD（或其延长线）作垂线得CF。
3. 比较BE和CF的大小：利用面积法分析，AD是中线则BD=CD，△ABD和△ACD同高（从A到BC的距离），故面积相等；又因为两个三角形的面积也可表示为$\frac{1}{2}×AD×BE$和$\frac{1}{2}×AD×CF$，由此可推出BE=CF。
【解析】
(1) 用刻度尺测量BC的长度，确定BC的中点D，连接AD，线段AD即为△ABC的中线；
(2) 过点B作直线AD的垂线，垂足为E，线段BE就是△ABD的高；过点C作直线AD的垂线（若AD长度不足可延长AD），垂足为F，线段CF就是△ACD的高；
(3) 因为AD是△ABC的中线，所以$BD=CD$，△ABD和△ACD的高相同（从A到BC的距离），根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，可知$S_{△ABD}=S_{△ACD}$；
又因为$S_{△ABD}=\frac{1}{2}×AD×BE$，$S_{△ACD}=\frac{1}{2}×AD×CF$，所以$\frac{1}{2}×AD×BE=\frac{1}{2}×AD×CF$，两边同时除以$\frac{1}{2}×AD$，可得$BE=CF$。
【答案】
(1)(2)如图所示。
(3)=
【知识点】
三角形的中线，三角形的高，三角形面积公式
【点评】
本题考查三角形中线、高的作图方法，以及利用面积法比较线段长度，需要熟练掌握相关定义与面积公式，既锻炼基本作图能力，也培养逻辑推理与知识应用能力。
【难度系数】
0.7
1. 如图所示的网格是由边长相同的小正方形组成的，点 A，B，C，D，E，F，G 在小正方形的顶点上，则△ABC 的重心是(
A.点 D
B.点 E
C.点 F
D.点 G
A
)A.点 D
B.点 E
C.点 F
D.点 G
答案
1. A
解析
【分析】
要确定△ABC的重心，首先明确核心知识点：三角形的重心是三条中线的交点。解题思路如下：
1. 先找到△ABC任意一条边的中点，连接对应顶点得到一条中线；
2. 再找到另一条边的中点，连接对应顶点得到第二条中线；
3. 两条中线的交点即为三角形的重心，观察网格找到该交点即可。
【解析】
根据三角形重心的定义：三角形的重心是三条中线的交点。
① 确定BC边的中点：观察网格，BC边的中点为网格顶点，连接A与该中点，得到△ABC的一条中线，这条中线经过点D；
② 确定AC边的中点：同理找到AC边的中点，连接B与该中点，得到△ABC的另一条中线，这条中线也经过点D；
③ 两条中线的交点为点D，因此△ABC的重心是点D。
【答案】
A
【知识点】
三角形重心定义
【点评】
本题考查三角形重心的基础概念，解题关键是掌握“重心是三角形三条中线的交点”，通过网格确定边的中点、画出中线即可找到重心，侧重对基础概念的理解与应用，属于基础题。
【难度系数】
0.7
要确定△ABC的重心，首先明确核心知识点：三角形的重心是三条中线的交点。解题思路如下：
1. 先找到△ABC任意一条边的中点，连接对应顶点得到一条中线；
2. 再找到另一条边的中点，连接对应顶点得到第二条中线；
3. 两条中线的交点即为三角形的重心，观察网格找到该交点即可。
【解析】
根据三角形重心的定义：三角形的重心是三条中线的交点。
① 确定BC边的中点：观察网格，BC边的中点为网格顶点，连接A与该中点，得到△ABC的一条中线，这条中线经过点D；
② 确定AC边的中点：同理找到AC边的中点，连接B与该中点，得到△ABC的另一条中线，这条中线也经过点D；
③ 两条中线的交点为点D，因此△ABC的重心是点D。
【答案】
A
【知识点】
三角形重心定义
【点评】
本题考查三角形重心的基础概念，解题关键是掌握“重心是三角形三条中线的交点”，通过网格确定边的中点、画出中线即可找到重心，侧重对基础概念的理解与应用，属于基础题。
【难度系数】
0.7
