2. AD 是△ABC 的边 BC 上的中线，若△ABD 的周长比△ACD 的周长大 5，则 AB 与 AC 的差是.

2. 5

【分析】
首先，根据三角形中线的定义，AD是BC边上的中线，可得BD=CD。接下来，分别表示出△ABD和△ACD的周长：△ABD的周长=AB+BD+AD，△ACD的周长=AC+CD+AD。题目给出△ABD的周长比△ACD的周长大5，将两个周长相减，由于BD=CD，AD是公共边，这两项会被抵消，最终就能得到AB与AC的差。
【解析】
∵AD是△ABC的边BC上的中线，
∴BD=CD（三角形中线的定义：连接三角形顶点和对边中点的线段，平分对边）。
△ABD的周长=AB+BD+AD，
△ACD的周长=AC+CD+AD，
根据题意得：$(AB+BD+AD)-(AC+CD+AD)=5$，
去括号化简：$AB+BD+AD-AC-CD-AD=5$，
∵BD=CD，AD为公共边，
∴AB-AC=5。
【答案】
5
【知识点】
三角形中线定义，三角形周长计算
【点评】
本题主要考查三角形中线的性质与三角形周长的计算，解题关键是利用中线得到BD=CD，再通过周长的差消去相等的线段，从而直接得出AB与AC的差值，属于基础题，注重对基础概念的理解与应用。
【难度系数】
0.9

3. △ABC 中，∠C=90°，∠CAB 和∠CBA 的平分线相交于点 D，BD 的延长线交 AC 于 E，求∠ADE 的度数.

3. 解:因为 $∠C = 90°$
所以 $∠CBA + ∠CAB = 90°$，
$∠DAB + ∠DBA = \frac{1}{2}(∠CBA + ∠CAB) =$
$45°$，在 $△ ADB$ 中，
$∠ADB + ∠DAB + ∠DBA = 180°$，
又因为 $∠ADB + ∠ADE = 180°$，
所以 $∠ADE = ∠DAB + ∠DBA = 45°$

【分析】
首先，在直角△ABC中，根据直角三角形两锐角互余的性质，可得出∠CAB与∠CBA的和为90°；接着，利用角平分线的定义，AD、BD分别平分∠CAB和∠CBA，因此∠DAB+∠DBA是∠CAB+∠CBA的一半，计算可得这两个角的和为45°；最后，结合三角形内角和定理以及邻补角的性质，通过∠ADB与∠ADE的互补关系，推导出∠ADE等于∠DAB+∠DBA，从而求出∠ADE的度数。
【解析】
解：因为 $∠C = 90°$，
所以 $∠CBA + ∠CAB = 90°$，
又因为AD平分∠CAB，BD平分∠CBA，
所以 $∠DAB + ∠DBA = \frac{1}{2}(∠CBA + ∠CAB) = \frac{1}{2}×90°=45°$，
在 $△ADB$ 中，根据三角形内角和定理，$∠ADB + ∠DAB + ∠DBA = 180°$，
又因为 $∠ADB + ∠ADE = 180°$（邻补角定义），
所以 $∠ADE = ∠DAB + ∠DBA = 45°$
【答案】
$\boxed{45°}$
【知识点】
直角三角形性质；角平分线定义；三角形内角和定理
【点评】
本题综合考查了直角三角形的性质、角平分线的定义以及三角形内角和与邻补角的应用，解题的核心是通过角平分线实现角的转化，再利用邻补角的性质建立角度之间的等量关系，难度适中，需要学生熟练掌握基础几何定理并灵活运用。
【难度系数】
0.6

4. 已知△ABC 中，∠B=45°，∠C=75°，AD 是 BC 边上的高，AE 是∠BAC 的平分线，求∠AED，∠DAE 的度数.

4. 解:$△ ABC$ 中
因为 $∠BAC + ∠B + ∠C = 180°$
所以 $∠BAC = 180°-(∠B + ∠C) = 180°-$
$(45°+75°) = 60°$
因为 $AE$ 是 $∠BAC$ 的平分线
所以 $∠EAC = \frac{1}{2}∠BAC = 30°$
在 $△ ADC$ 中，$∠ADC = 90°$
因为 $∠DAC + ∠C = 90°$
所以 $∠DAC = 90°-∠C = 15°$
所以 $∠DAE = ∠EAC - ∠DAC = 30°-15°$
$= 15°$
在 $∠AED$ 中，$∠ADE = 90°$
所以 $∠AED = 90°-∠DAE = 90°-15° = 75°$

【分析】
要解决这个问题，我们可以按照以下思路逐步推导：
1. 首先利用三角形内角和定理，结合已知的∠B和∠C的度数，求出∠BAC的度数；
2. 根据角平分线的定义，算出∠EAC的度数；
3. 在Rt△ADC中，利用直角三角形两锐角互余的性质，求出∠DAC的度数，进而通过∠EAC与∠DAC的差得到∠DAE的度数；
4. 最后在Rt△ADE中，再次利用直角三角形两锐角互余的性质，求出∠AED的度数。
【解析】
在△ABC中，
因为三角形内角和为180°，即$∠BAC + ∠B + ∠C = 180°$，
所以$∠BAC = 180°-(∠B + ∠C) = 180°-(45°+75°) = 60°$。
因为AE是∠BAC的平分线，
所以$∠EAC = \frac{1}{2}∠BAC = \frac{1}{2}×60° = 30°$。
在Rt△ADC中，$∠ADC = 90°$，
根据直角三角形两锐角互余，$∠DAC + ∠C = 90°$，
所以$∠DAC = 90°-∠C = 90°-75° = 15°$。
因此$∠DAE = ∠EAC - ∠DAC = 30°-15° = 15°$。
在Rt△ADE中，$∠ADE = 90°$，
根据直角三角形两锐角互余，$∠AED = 90°-∠DAE = 90°-15° = 75°$。
【答案】
∠AED的度数为75°，∠DAE的度数为15°
【知识点】
1. 三角形内角和定理
2. 角平分线的定义
3. 直角三角形两锐角互余
【点评】
本题主要考查三角形的基础性质，需要灵活运用三角形内角和定理、角平分线定义以及直角三角形的性质进行逐步推导，解题过程层层递进，需要学生理清各角之间的数量关系，是对三角形基本性质的综合考察。
【难度系数】
0.6

1. O 是△ABC 内一点，且 BO，CO 分别平分∠ABC，∠ACB.
（1）若∠ABC=80°，∠ACB=60°，求∠BOC 的度数.
（2）若∠A=40°，求∠BOC 的度数.
（3）若∠A=α，用含 α 的代数式表示∠BOC.

1. 解:(1)$110°$
(2)$110°$
(3)$∠BOC = 90°+\frac{a}{2}$

【分析】
本题考查三角形内角和定理与角平分线定义的综合应用，解题思路如下：
（1）先根据角平分线的定义，求出∠OBC和∠OCB的度数，再利用三角形内角和定理计算∠BOC的度数；
（2）先通过三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB的度数，结合角平分线定义得到∠OBC+∠OCB的度数，最后用三角形内角和定理求出∠BOC；
（3）将∠A设为α，按照（2）的思路，用含α的代数式逐步推导∠BOC的表达式。
【解析】
（1）
∵BO平分∠ABC，∠ABC=80°，
∴∠OBC = $\frac{1}{2}$∠ABC = $\frac{1}{2}×80°=40°$，
∵CO平分∠ACB，∠ACB=60°，
∴∠OCB = $\frac{1}{2}$∠ACB = $\frac{1}{2}×60°=30°$，
在△BOC中，根据三角形内角和定理：∠BOC + ∠OBC + ∠OCB = 180°，
∴∠BOC = 180° - ∠OBC - ∠OCB = 180° - 40° - 30° = 110°；
（2）在△ABC中，∠A=40°，根据三角形内角和定理：∠ABC + ∠ACB = 180° - ∠A = 180° - 40° = 140°，
∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠OBC = $\frac{1}{2}$∠ABC，∠OCB = $\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠OBC + ∠OCB = $\frac{1}{2}$(∠ABC + ∠ACB) = $\frac{1}{2}×140°=70°$，
在△BOC中，∠BOC = 180° - (∠OBC + ∠OCB) = 180° - 70° = 110°；
（3）在△ABC中，∠A=α，
∴∠ABC + ∠ACB = 180° - α，
∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠OBC + ∠OCB = $\frac{1}{2}$(∠ABC + ∠ACB) = $\frac{1}{2}$(180° - α) = 90° - $\frac{α}{2}$，
在△BOC中，∠BOC = 180° - (∠OBC + ∠OCB) = 180° - (90° - $\frac{α}{2}$) = 90° + $\frac{α}{2}$。
【答案】
(1) $110°$；(2) $110°$；(3) $\boldsymbol{∠BOC = 90°+\frac{α}{2}}$
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义
【点评】
本题通过特殊到一般的思路，考查角平分线定义与三角形内角和定理的综合运用，解题关键是利用角平分线将角进行转化，结合三角形内角和定理计算，掌握该“双角平分线”模型的结论可快速解题。
【难度系数】
0.6

2. 如图，在△ABC 中，已知 D，E，F 分别为 BC，AD，CE 的中点，且 $S_{△ ABC}=4\ \mathrm{cm}^2$，则阴影部分的面积是多少？

2. 解:因为 $D$ 为 $BC$ 的中点，
所以 $S_{△ ABD} = S_{△ ADC} = \frac{1}{2}S_{△ ABC} = 2\mathrm{cm}^{2}$
又因为 $E$ 为 $AD$ 的中点，
所以 $S_{△ EBD} = S_{△ EBA} = \frac{1}{2}S_{△ ABD} = 1\mathrm{cm}^{2}$，
所以 $S_{△ BEC} = S_{△ EBD} + S_{△ EDC} = 2\mathrm{cm}^{2}$，
因为 $F$ 为 $EC$ 的中点，
所以 $S_{△ BEF} = \frac{1}{2}S_{△ BEC} = 1\mathrm{cm}^{2}$，
即阴影部分的面积是 $1\mathrm{cm}^{2}$。

【分析】
要解决这个问题，我们可以利用“三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分”这一性质，从最外层的中点逐步向内推导：
1. 首先，D是BC的中点，AD是△ABC的中线，因此△ABD和△ADC的面积相等，均为△ABC面积的一半；
2. 接着，E是AD的中点，BE、CE分别是△ABD、△ADC的中线，由此可得△EBD与△EBA面积相等，△EDC与△ECA面积相等，进而推出△BEC的面积是△ABC面积的一半；
3. 最后，F是CE的中点，BF是△BEC的中线，阴影部分△BEF的面积即为△BEC面积的一半，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：因为$D$为$BC$的中点，
所以$S_{△ ABD} = S_{△ ADC} = \frac{1}{2}S_{△ ABC} = \frac{1}{2}×4 = 2\ \mathrm{cm}^2$。
又因为$E$为$AD$的中点，
所以$S_{△ EBD} = \frac{1}{2}S_{△ ABD} = 1\ \mathrm{cm}^2$，$S_{△ EDC} = \frac{1}{2}S_{△ ADC} = 1\ \mathrm{cm}^2$，
因此$S_{△ BEC} = S_{△ EBD} + S_{△ EDC} = 1 + 1 = 2\ \mathrm{cm}^2$。
因为$F$为$EC$的中点，
所以$S_{△ BEF} = \frac{1}{2}S_{△ BEC} = \frac{1}{2}×2 = 1\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
$\boldsymbol{1\ \mathrm{cm}^2}$
【知识点】
1. 三角形中线性质
2. 三角形面积计算
【点评】
本题主要考查三角形中线的性质，即三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分。解题的关键是通过多次利用中点的性质，逐步将所求阴影部分的面积与已知的△ABC的面积建立联系，层层推导得出结果，锻炼了逻辑推理和分步计算的能力。
【难度系数】
0.6