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6. △ABC 中，三边长分别为 a，b，c，且都是整数，b＞a＞c，b=5，求满足条件的三角形.
答案
6.解：根据已知条件和三角形的三边关系，得满足条件的三角形有a = 4，b = 5，c = 2和a = 4，b = 5，c = 3。
解析
【分析】
首先，根据题目条件b＞a＞c且b=5，a、c为整数，先确定a的可能取值：a需满足a＜5且a＞c（c为正整数），所以a的候选值为4、3、2。接着结合三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”来筛选：
1. 若a=4，需满足4+c＞5（即c＞1），同时c＜4且c为整数，所以c可取2、3，验证这两个取值均满足三边关系；
2. 若a=3，需满足3+c＞5（即c＞2），但c＜3，没有符合条件的整数c；
3. 若a=2，需满足2+c＞5（即c＞3），但c＜2，也没有符合条件的整数c。
综上，只有a=4时存在符合条件的c值，从而确定满足条件的三角形。
【解析】
已知在△ABC中，b=5，b＞a＞c，且a、b、c均为整数，根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”：
1. 确定a的取值范围：因为b＞a，所以a可取4、3、2（整数且a＞c≥1）；
2. 当a=4时，需满足4+c＞5，即c＞1，又因为c＜a=4且c为整数，所以c=2或3：
当c=2时，三边为4、5、2，满足4+2＞5，5-4＜2，5-2＜4，符合三角形三边关系；
当c=3时，三边为4、5、3，满足4+3＞5，5-4＜3，5-3＜4，符合三角形三边关系；
3. 当a=3时，需满足3+c＞5，即c＞2，但c＜3，无符合条件的整数c；
4. 当a=2时，需满足2+c＞5，即c＞3，但c＜2，无符合条件的整数c。
因此，满足条件的三角形为a=4，b=5，c=2和a=4，b=5，c=3。
【答案】
满足条件的三角形为：a=4，b=5，c=2和a=4，b=5，c=3。
【知识点】
1. 三角形三边关系
2. 整数取值分析
【点评】
本题重点考查三角形三边关系的实际应用，需要结合给定的边长大小关系和整数限制，通过逐步分析、验证来筛选出符合条件的边长组合，有助于提升逻辑推理和严谨分析问题的能力。
【难度系数】
0.6
首先，根据题目条件b＞a＞c且b=5，a、c为整数，先确定a的可能取值：a需满足a＜5且a＞c（c为正整数），所以a的候选值为4、3、2。接着结合三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”来筛选：
1. 若a=4，需满足4+c＞5（即c＞1），同时c＜4且c为整数，所以c可取2、3，验证这两个取值均满足三边关系；
2. 若a=3，需满足3+c＞5（即c＞2），但c＜3，没有符合条件的整数c；
3. 若a=2，需满足2+c＞5（即c＞3），但c＜2，也没有符合条件的整数c。
综上，只有a=4时存在符合条件的c值，从而确定满足条件的三角形。
【解析】
已知在△ABC中，b=5，b＞a＞c，且a、b、c均为整数，根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”：
1. 确定a的取值范围：因为b＞a，所以a可取4、3、2（整数且a＞c≥1）；
2. 当a=4时，需满足4+c＞5，即c＞1，又因为c＜a=4且c为整数，所以c=2或3：
当c=2时，三边为4、5、2，满足4+2＞5，5-4＜2，5-2＜4，符合三角形三边关系；
当c=3时，三边为4、5、3，满足4+3＞5，5-4＜3，5-3＜4，符合三角形三边关系；
3. 当a=3时，需满足3+c＞5，即c＞2，但c＜3，无符合条件的整数c；
4. 当a=2时，需满足2+c＞5，即c＞3，但c＜2，无符合条件的整数c。
因此，满足条件的三角形为a=4，b=5，c=2和a=4，b=5，c=3。
【答案】
满足条件的三角形为：a=4，b=5，c=2和a=4，b=5，c=3。
【知识点】
1. 三角形三边关系
2. 整数取值分析
【点评】
本题重点考查三角形三边关系的实际应用，需要结合给定的边长大小关系和整数限制，通过逐步分析、验证来筛选出符合条件的边长组合，有助于提升逻辑推理和严谨分析问题的能力。
【难度系数】
0.6
7. 已知 a，b，c 分别是△ABC 的三边长，化简：|a - b + c| + |c - a - b| - |b + c - a|.
答案
7.解：因为a、b、c分别为△ABC的三边长，
所以a - b + c ＞ 0，c - a - b ＜ 0，b + c - a ＞ 0，
所以|a - b + c| + |c - a - b| - |b + c - a|
= a - b + c - c + a + b - b - c + a
= 3a - b - c。
所以a - b + c ＞ 0，c - a - b ＜ 0，b + c - a ＞ 0，
所以|a - b + c| + |c - a - b| - |b + c - a|
= a - b + c - c + a + b - b - c + a
= 3a - b - c。
解析
【分析】
要化简这个含绝对值的式子，核心思路是先利用三角形三边关系判断每个绝对值内式子的正负性，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号，最后合并同类项得到结果。具体思考步骤如下：
1. 回忆三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，即$a + c ＞ b$，$a + b ＞ c$，$b + c ＞ a$；
2. 对绝对值内的式子变形，结合三边关系判断正负：$a - b + c = (a + c) - b ＞ 0$，$c - a - b = c - (a + b) ＜ 0$，$b + c - a ＞ 0$；
3. 根据“正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数”去掉绝对值符号，再合并同类项完成化简。
【解析】
因为$a$、$b$、$c$分别为$△ ABC$的三边长，根据三角形三边关系：
三角形任意两边之和大于第三边，可得：
$a + c ＞ b$，即$a - b + c ＞ 0$；
$a + b ＞ c$，即$c - (a + b) ＜ 0$，也就是$c - a - b ＜ 0$；
$b + c ＞ a$，即$b + c - a ＞ 0$。
根据绝对值的性质化简原式：
$\begin{aligned}|a - b + c| + |c - a - b| - |b + c - a|&= (a - b + c) + [-(c - a - b)] - (b + c - a)\\&= a - b + c - c + a + b - b - c + a\\&= 3a - b - c\end{aligned}$
【答案】
$3a - b - c$
【知识点】
三角形三边关系、绝对值的性质
【点评】
本题考查三角形三边关系与绝对值的综合应用，解题关键是准确利用三边关系判断绝对值内式子的正负，去绝对值时注意符号变化，合并同类项需细心核对系数与符号，避免出错。
【难度系数】
0.6
要化简这个含绝对值的式子，核心思路是先利用三角形三边关系判断每个绝对值内式子的正负性，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号，最后合并同类项得到结果。具体思考步骤如下：
1. 回忆三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，即$a + c ＞ b$，$a + b ＞ c$，$b + c ＞ a$；
2. 对绝对值内的式子变形，结合三边关系判断正负：$a - b + c = (a + c) - b ＞ 0$，$c - a - b = c - (a + b) ＜ 0$，$b + c - a ＞ 0$；
3. 根据“正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数”去掉绝对值符号，再合并同类项完成化简。
【解析】
因为$a$、$b$、$c$分别为$△ ABC$的三边长，根据三角形三边关系：
三角形任意两边之和大于第三边，可得：
$a + c ＞ b$，即$a - b + c ＞ 0$；
$a + b ＞ c$，即$c - (a + b) ＜ 0$，也就是$c - a - b ＜ 0$；
$b + c ＞ a$，即$b + c - a ＞ 0$。
根据绝对值的性质化简原式：
$\begin{aligned}|a - b + c| + |c - a - b| - |b + c - a|&= (a - b + c) + [-(c - a - b)] - (b + c - a)\\&= a - b + c - c + a + b - b - c + a\\&= 3a - b - c\end{aligned}$
【答案】
$3a - b - c$
【知识点】
三角形三边关系、绝对值的性质
【点评】
本题考查三角形三边关系与绝对值的综合应用，解题关键是准确利用三边关系判断绝对值内式子的正负，去绝对值时注意符号变化，合并同类项需细心核对系数与符号，避免出错。
【难度系数】
0.6
1. 已知 m，n 是等腰△ABC 的两边，且|m - 2|$ + (n - 5)^2 = 0$，求等腰三角形的周长.
答案
1. 解：因为|m - 2|$ + (n - 5)^2 = 0$
所以m - 2 = 0，n - 5 = 0
即m = 2，n = 5
当m = 2为腰时，三边是2，2，5，不符合三角形三边关系，舍去；
当n = 5为腰时，三边是5，5，2。
5 + 2 ＞ 5，周长是5 + 5 + 2 = 12，
所以这个等腰三角形的周长是12。
所以m - 2 = 0，n - 5 = 0
即m = 2，n = 5
当m = 2为腰时，三边是2，2，5，不符合三角形三边关系，舍去；
当n = 5为腰时，三边是5，5，2。
5 + 2 ＞ 5，周长是5 + 5 + 2 = 12，
所以这个等腰三角形的周长是12。
解析
【分析】
首先，根据绝对值和平方数的非负性，两个非负数相加等于0，则这两个非负数分别为0，由此可求出m和n的值。接着，因为是等腰三角形，需分两种情况讨论：m为腰长或n为腰长。最后依据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”验证两种情况是否成立，舍去不符合的情况，计算符合条件的等腰三角形周长。
【解析】
解：因为$\vert m - 2\vert + (n - 5)^2 = 0$，
又因为$\vert m - 2\vert ≥ 0$，$(n - 5)^2 ≥ 0$，
所以$m - 2 = 0$，$n - 5 = 0$，
解得$m = 2$，$n = 5$。
当$m = 2$为腰时，三边是2，2，5，
因为$2 + 2 = 4 ＜ 5$，不符合三角形三边关系，舍去；
当$n = 5$为腰时，三边是5，5，2，
因为$5 + 2 ＞ 5$，满足三角形三边关系，
周长为$5 + 5 + 2 = 12$。
综上，这个等腰三角形的周长是12。
【答案】
12
【知识点】
非负数的性质、等腰三角形的性质、三角形三边关系
【点评】
本题综合考查了非负数的性质、等腰三角形的分类讨论以及三角形三边关系，解题时需注意分类后要验证三边关系，避免得出错误结论，培养严谨的解题思维。
【难度系数】
0.6
首先，根据绝对值和平方数的非负性，两个非负数相加等于0，则这两个非负数分别为0，由此可求出m和n的值。接着，因为是等腰三角形，需分两种情况讨论：m为腰长或n为腰长。最后依据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”验证两种情况是否成立，舍去不符合的情况，计算符合条件的等腰三角形周长。
【解析】
解：因为$\vert m - 2\vert + (n - 5)^2 = 0$，
又因为$\vert m - 2\vert ≥ 0$，$(n - 5)^2 ≥ 0$，
所以$m - 2 = 0$，$n - 5 = 0$，
解得$m = 2$，$n = 5$。
当$m = 2$为腰时，三边是2，2，5，
因为$2 + 2 = 4 ＜ 5$，不符合三角形三边关系，舍去；
当$n = 5$为腰时，三边是5，5，2，
因为$5 + 2 ＞ 5$，满足三角形三边关系，
周长为$5 + 5 + 2 = 12$。
综上，这个等腰三角形的周长是12。
【答案】
12
【知识点】
非负数的性质、等腰三角形的性质、三角形三边关系
【点评】
本题综合考查了非负数的性质、等腰三角形的分类讨论以及三角形三边关系，解题时需注意分类后要验证三边关系，避免得出错误结论，培养严谨的解题思维。
【难度系数】
0.6
2. 在平面内，分别用 3 根、5 根、6 根……火柴首尾依次相接，能搭成什么形状的三角形呢？通过尝试，列表如下：
（1）4 根火柴搭成三角形吗？
（2）8 根、12 根能搭成几种不同形状的三角形？并画出它的示意图.
（1）4 根火柴搭成三角形吗？
（2）8 根、12 根能搭成几种不同形状的三角形？并画出它的示意图.
答案
2. 解：(1)不能；
(2)8根火柴能搭成1种等腰三角形；12根火柴能搭成3种三角形；
解析
【分析】
要解决这道题，核心依据是三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
对于问题（1），我们需要把4根火柴拆分成三个正整数段，验证是否满足三边关系；
对于问题（2），分别对8根、12根火柴，枚举所有可能的正整数拆分方式，再逐一验证是否符合三边关系，同时结合三角形的分类判断形状。
【解析】
（1）假设用4根火柴搭三角形，将4拆分为三个正整数，仅有一种分法：1,1,2。
根据三角形三边关系，两边之和需大于第三边，而$1+1=2$，不满足该条件，因此4根火柴不能搭成三角形。
（2）①对于8根火柴：
枚举所有正整数拆分方式，验证三边关系：
分法1,1,6：$1+1＜6$，不满足；
分法1,2,5：$1+2＜5$，不满足；
分法1,3,4：$1+3=4$，不满足；
分法2,3,3：$2+3＞3$，$3+3＞2$，满足三边关系，此为等腰三角形。
因此8根火柴能搭成1种等腰三角形。
②对于12根火柴：
枚举所有正整数拆分方式，验证三边关系：
分法4,4,4：三边相等，$4+4＞4$，满足，此为等边三角形；
分法3,4,5：$3+4＞5$，$4+5＞3$，$3+5＞4$，满足，此为直角三角形；
分法5,5,2：$5+5＞2$，$5+2＞5$，满足，此为等腰三角形；
其他分法如2,4,6：$2+4=6$，不满足；1,5,6：$1+5=6$，不满足。
因此12根火柴能搭成3种不同形状的三角形。
【答案】
(1)不能；
(2)8根火柴能搭成1种等腰三角形；12根火柴能搭成3种三角形；
【知识点】
三角形三边关系，三角形分类
【点评】
本题通过火柴棒搭三角形的实际场景，考查三角形三边关系的应用，需要学生掌握枚举拆分的方法，结合三边关系逐一验证，同时熟悉不同类型三角形的特征，锻炼逻辑分析与动手验证的能力。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，核心依据是三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
对于问题（1），我们需要把4根火柴拆分成三个正整数段，验证是否满足三边关系；
对于问题（2），分别对8根、12根火柴，枚举所有可能的正整数拆分方式，再逐一验证是否符合三边关系，同时结合三角形的分类判断形状。
【解析】
（1）假设用4根火柴搭三角形，将4拆分为三个正整数，仅有一种分法：1,1,2。
根据三角形三边关系，两边之和需大于第三边，而$1+1=2$，不满足该条件，因此4根火柴不能搭成三角形。
（2）①对于8根火柴：
枚举所有正整数拆分方式，验证三边关系：
分法1,1,6：$1+1＜6$，不满足；
分法1,2,5：$1+2＜5$，不满足；
分法1,3,4：$1+3=4$，不满足；
分法2,3,3：$2+3＞3$，$3+3＞2$，满足三边关系，此为等腰三角形。
因此8根火柴能搭成1种等腰三角形。
②对于12根火柴：
枚举所有正整数拆分方式，验证三边关系：
分法4,4,4：三边相等，$4+4＞4$，满足，此为等边三角形；
分法3,4,5：$3+4＞5$，$4+5＞3$，$3+5＞4$，满足，此为直角三角形；
分法5,5,2：$5+5＞2$，$5+2＞5$，满足，此为等腰三角形；
其他分法如2,4,6：$2+4=6$，不满足；1,5,6：$1+5=6$，不满足。
因此12根火柴能搭成3种不同形状的三角形。
【答案】
(1)不能；
(2)8根火柴能搭成1种等腰三角形；12根火柴能搭成3种三角形；
【知识点】
三角形三边关系，三角形分类
【点评】
本题通过火柴棒搭三角形的实际场景，考查三角形三边关系的应用，需要学生掌握枚举拆分的方法，结合三边关系逐一验证，同时熟悉不同类型三角形的特征，锻炼逻辑分析与动手验证的能力。
【难度系数】
0.6
