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三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到的距离相等。
答案
三角形三条边
解析
三角形的三条角平分线相交于一点，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。所以这个交点到三角形三条边的距离相等。
1. 到三角形三边距离相等的点应是三角形三条()。
A.角平分线的交点
B.高线所在直线的交点
C.中线的交点
D.边的垂直平分线的交点
A.角平分线的交点
B.高线所在直线的交点
C.中线的交点
D.边的垂直平分线的交点
答案
A
解析
根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，所以三角形三条角平分线的交点到三角形三边距离相等。
2. 已知△ABC 是一个任意三角形，用尺规作出∠A，∠B 的平分线，如果所作的两条角平分线交于点 O，下列选项中不正确的是()。
A.点 O 到△ABC 三个顶点的距离一定相等
B.∠C 的平分线一定经过点 O
C.点 O 到△ABC 三边的距离一定相等
D.点 O 一定在△ABC 的内部
A.点 O 到△ABC 三个顶点的距离一定相等
B.∠C 的平分线一定经过点 O
C.点 O 到△ABC 三边的距离一定相等
D.点 O 一定在△ABC 的内部
答案
A
解析
角平分线的性质为角平分线上的点到角两边的距离相等。
对于选项B，因为三角形三条角平分线相交于一点，所以∠C的平分线一定经过点O，该选项正确。
对于选项C，点O是∠A，∠B角平分线的交点，根据角平分线的性质，点O到△ABC三边的距离一定相等，该选项正确。
对于选项D，任意三角形三条角平分线都在三角形内部，所以点O一定在△ABC的内部，该选项正确。
对于选项A，点O到三角形三个顶点的距离不一定相等，该选项错误。
对于选项B，因为三角形三条角平分线相交于一点，所以∠C的平分线一定经过点O，该选项正确。
对于选项C，点O是∠A，∠B角平分线的交点，根据角平分线的性质，点O到△ABC三边的距离一定相等，该选项正确。
对于选项D，任意三角形三条角平分线都在三角形内部，所以点O一定在△ABC的内部，该选项正确。
对于选项A，点O到三角形三个顶点的距离不一定相等，该选项错误。
3. 【数学应用】如图，两两相交的三条公路中央有一深水湖泊，要在陆地上建一个加油站 P 到三条公路的距离相等，这样的位置有处。
答案
3
解析
要使加油站P到三条公路的距离相等，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。三条两两相交的公路形成三角形，到三角形三边所在直线距离相等的点为内角平分线交点（内心）和外角平分线交点（旁心）。
内心：三角形三条内角平分线的交点，位于三角形内部，因中央有深水湖泊，此点在湖泊内，不符合要求。
旁心：三角形一个内角平分线与另外两个外角平分线的交点，共3个，均位于三角形外部（陆地上），符合要求。
内心：三角形三条内角平分线的交点，位于三角形内部，因中央有深水湖泊，此点在湖泊内，不符合要求。
旁心：三角形一个内角平分线与另外两个外角平分线的交点，共3个，均位于三角形外部（陆地上），符合要求。
4. 如图，O 是△ABC 内一点，OD⊥BC 于点 D，OE⊥AB 于点 E，OF⊥AC 于点 F，且 OD=OE=OF。若∠A=70°，则∠BOC=。
答案
∵OD⊥BC，OE⊥AB，OF⊥AC，且OD=OE=OF，
∴点O是△ABC的内心（角平分线的交点），
∴BO平分∠ABC，CO平分∠ACB。
设∠ABO=∠OBC=x，∠ACO=∠OCB=y，
∵∠A=70°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=110°，
即2x+2y=110°，
∴x+y=55°，
在△BOC中，∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=180°-(x+y)=180°-55°=125°。
125°
∴点O是△ABC的内心（角平分线的交点），
∴BO平分∠ABC，CO平分∠ACB。
设∠ABO=∠OBC=x，∠ACO=∠OCB=y，
∵∠A=70°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=110°，
即2x+2y=110°，
∴x+y=55°，
在△BOC中，∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=180°-(x+y)=180°-55°=125°。
125°
