8. 若 $ M(-\frac{1}{2},y_{1}) $，$ N(-\frac{1}{4},y_{2}) $，$ P(\frac{1}{2},y_{3}) $ 三点都在函数 $ y = kx $($ k ＜ 0 $)的图象上，则 $ y_{1} $，$ y_{2} $，$ y_{3} $ 的大小关系为。

$y_1 ＞ y_2 ＞ y_3$

因为函数$y = kx$（$k ＜ 0$），所以$y$随$x$的增大而减小。
$M(-\frac{1}{2}, y_1)$，$N(-\frac{1}{4}, y_2)$，$P(\frac{1}{2}, y_3)$三点的横坐标大小关系为：$-\frac{1}{2} ＜ -\frac{1}{4} ＜ \frac{1}{2}$，
所以对应的函数值大小关系为：$y_1 ＞ y_2 ＞ y_3$。

9. 若点 $ A(m,n) $ 在直线 $ y = kx $($ k ≠ 0 $)上，当 $ -1 ≤ m ≤ 1 $ 时，$ -1 ≤ n ≤ 1 $，则这条直线的解析式为。

$y=x$或$y=-x$

因为点$A(m,n)$在直线$y=kx(k≠0)$上，所以$n=km$。
当$k＞0$时，$y$随$x$增大而增大，由$-1≤m≤1$得$-k≤n≤k$，又$-1≤n≤1$，故$k=1$，直线为$y=x$；
当$k＜0$时，$y$随$x$增大而减小，由$-1≤m≤1$得$k≤n≤-k$，又$-1≤n≤1$，故$k=-1$，直线为$y=-x$。
综上，直线解析式为$y=x$或$y=-x$。

10. 已知正比例函数 $ y = (m - 1)x $ 的图象上有两点 $ A(x_{1},y_{1}) $，$ B(x_{2},y_{2}) $，当 $ x_{1} ＜ x_{2} $ 时，有 $ y_{1} ＞ y_{2} $。
（1）求 $ m $ 的取值范围；
（2）当 $ m $ 取最大整数时，画出该函数图象。

（1）因为当$x_{1}＜x_{2}$时，$y_{1}＞y_{2}$，所以$y$随$x$的增大而减小，所以$m - 1＜0$，解得$m＜1$。
（2）$m$取最大整数，即$m = 0$，函数为$y=-x$。
列表：
| $x$ | 0 | 1 |
| --- | --- | --- |
| $y$ | 0 | -1 |
描点$(0,0)$，$(1,-1)$，连线得函数图象。

11. 已知正比例函数 $ y = (2m + 4)x $。
（1）$ m $ 为何值时，函数图象经过第一、第三象限？
（2）$ m $ 为何值时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小？
（3）$ m $ 为何值时，点 $ (1,3) $ 在该函数的图象上？

（1）对于正比例函数$y = kx$（$k≠0$），当$k＞0$时，函数图象经过第一、三象限。在函数$y=(2m + 4)x$中，$k = 2m + 4$，所以$2m + 4＞0$，解得$m＞-2$。
（2）当$k＜0$时，$y$随$x$的增大而减小，即$2m + 4＜0$，解得$m＜-2$。
（3）因为点$(1,3)$在函数图象上，所以将$x = 1$，$y = 3$代入函数得$3=(2m + 4)×1$，即$2m + 4 = 3$，解得$m=-\frac{1}{2}$。
（1）$m＞-2$；（2）$m＜-2$；（3）$m=-\frac{1}{2}$

12. 如图，点 $ B $，$ C $ 分别在直线 $ y = 2x $ 和直线 $ y = kx $ 上，$ A $，$ D $ 分别是 $ x $ 轴上的两点，已知四边形 $ ABCD $ 是正方形，求 $ k $ 的值。

设点$ A $的坐标为$ (a, 0) $，$ D $的坐标为$ (d, 0) $（$ a, d $为常数，$ a ≠ 0 $）。
因为点$ B $在直线$ y = 2x $上，设$ B $的坐标为$ (b, 2b) $。
由于四边形$ ABCD $是正方形，$ AB ⊥ AD $，且$ AD $在$ x $轴上（水平方向），则$ AB $必为竖直方向，即$ AB $的横坐标与$ A $相同，故$ b = a $，因此$ B(a, 2a) $。
$ AB $的长度为$ |2a - 0| = 2|a| $，$ AD $的长度为$ |d - a| $。
因为正方形邻边相等，所以$ |d - a| = 2|a| $。设$ a ＞ 0 $，则$ d - a = 2a $（$ d ＞ a $，正方形在第一象限），得$ d = 3a $，即$ D(3a, 0) $。
$ BC $为正方形的边，且$ BC // AD $（水平方向），长度等于$ AB = 2a $，故$ C $的坐标为$ (a + 2a, 2a) = (3a, 2a) $。
因为点$ C $在直线$ y = kx $上，代入$ C(3a, 2a) $得$ 2a = k · 3a $，解得$ k = \frac{2}{3} $。
$ k = \frac{2}{3} $

13. 如图，在平面直角坐标系中，正比例函数 $ y = kx $ 的图象经过点 $ P(m,m) $，$ PA ⊥ x $ 轴，垂足为 $ A $。
（1）求 $ k $ 的值；
（2）若点 $ P $ 在直线 $ y = kx $ 上运动，设 $ △ APO $ 的面积为 $ S $，求 $ S $ 与 $ m $ 的函数解析式；
（3）若 $ m = 2 $，在坐标轴上是否存在点 $ Q $，使 $ △ POQ $ 为等腰直角三角形？若存在，求 $ Q $ 点坐标；若不存在，请说明理由。

（1）∵正比例函数$y=kx$过点$P(m,m)$，
∴将$x=m$，$y=m$代入$y=kx$，得$m=km$。
∵$m≠0$（否则$P$与$O$重合，无法构成$△ APO$），
∴$k=1$。
（2）由（1）知直线为$y=x$，$P(m,m)$，$PA⊥ x$轴，
∴$A(m,0)$，$OA=|m|$，$PA=|m|$。
$△ APO$面积$S=\frac{1}{2}× OA× PA=\frac{1}{2}×|m|×|m|=\frac{1}{2}m^2$，
∴$S=\frac{1}{2}m^2$。
（3）存在。
当$m=2$时，$P(2,2)$，$O(0,0)$，$Q$在坐标轴上，分情况讨论：
情况1：$Q$在$x$轴上，设$Q(a,0)$
若直角顶点为$P$：$PO=PQ$且$PO⊥ PQ$，
$PO=2\sqrt{2}$，$PQ=\sqrt{(a-2)^2+(0-2)^2}=2\sqrt{2}$，
解得$a=4$（$a=0$舍去），$Q(4,0)$。
若直角顶点为$Q$：$QO=QP$且$QO⊥ QP$，
$QO=|a|$，$QP=\sqrt{(2-a)^2+2^2}$，
解得$a=2$，$Q(2,0)$。
情况2：$Q$在$y$轴上，设$Q(0,b)$
若直角顶点为$P$：$PO=PQ$且$PO⊥ PQ$，
$PO=2\sqrt{2}$，$PQ=\sqrt{(2-0)^2+(2-b)^2}=2\sqrt{2}$，
解得$b=4$（$b=0$舍去），$Q(0,4)$。
若直角顶点为$Q$：$QO=QP$且$QO⊥ QP$，
$QO=|b|$，$QP=\sqrt{2^2+(2-b)^2}$，
解得$b=2$，$Q(0,2)$。
综上，$Q$点坐标为$(2,0)$，$(4,0)$，$(0,2)$，$(0,4)$。