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1. 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ B=50°$，$CD$平分$∠ ACB$，则$∠ 1=$()
A.$10°$
B.$20°$
C.$25°$
D.$30°$
A.$10°$
B.$20°$
C.$25°$
D.$30°$
答案
B
解析
在Rt△ABC中，∠A=90°，∠B=50°，则∠ACB=180°-90°-50°=40°。因为CD平分∠ACB，所以∠1=∠ACB/2=40°/2=20°。
2. 如图，直线$CF// DE$，$∠ ACB=90°$，$∠ A=30°$。若$∠ 1=18°$，则$∠ 2=$()
A.$42°$
B.$38°$
C.$36°$
D.$30°$
A.$42°$
B.$38°$
C.$36°$
D.$30°$
答案
A
解析
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，则∠ABC=180°-90°-30°=60°。
∵CF//DE，∠1=18°，∠1为∠BCF，
∴∠ABF=∠ABC - ∠BCF=60°-18°=42°。
又∵CF//DE，∠ABF与∠2是同位角，
∴∠2=∠ABF=42°。
∵CF//DE，∠1=18°，∠1为∠BCF，
∴∠ABF=∠ABC - ∠BCF=60°-18°=42°。
又∵CF//DE，∠ABF与∠2是同位角，
∴∠2=∠ABF=42°。
3. 命题“等边三角形的各个内角都等于$60°$”，其逆命题是(填“真”或“假”)命题。
答案
真
解析
原命题的题设是“一个三角形是等边三角形”，结论是“它的每个内角都等于$60°$”。其逆命题为“如果一个三角形的每个内角都等于$60°$，则这个三角形是等边三角形”。
由于三角形内角和为$180°$，若每个内角均为$60°$，则三边必然相等，故该三角形为等边三角形。因此逆命题为真。
由于三角形内角和为$180°$，若每个内角均为$60°$，则三边必然相等，故该三角形为等边三角形。因此逆命题为真。
4. 如图，裁缝师傅将一块长方形布料$ABCD$沿着$AE$折叠，使点$D$落在$BC$边上的点$F$处。若$∠ BAF=50°$，则$∠ AEF=$。
答案
70°
解析
因为四边形ABCD是长方形，所以∠BAD=90°。
已知∠BAF=50°，则∠FAD=∠BAD - ∠BAF=90° - 50°=40°。
由折叠性质得∠DAE=∠FAE，所以∠DAE=∠FAE=∠FAD÷2=40°÷2=20°。
在Rt△ADE中，∠ADE=90°，∠DAE=20°，所以∠AED=90° - 20°=70°。
由折叠性质知∠AEF=∠AED=70°。
已知∠BAF=50°，则∠FAD=∠BAD - ∠BAF=90° - 50°=40°。
由折叠性质得∠DAE=∠FAE，所以∠DAE=∠FAE=∠FAD÷2=40°÷2=20°。
在Rt△ADE中，∠ADE=90°，∠DAE=20°，所以∠AED=90° - 20°=70°。
由折叠性质知∠AEF=∠AED=70°。
5. 已知$E$为$△ ABC$中$AB$边上一点，连接$CE$，$∠ A=10°$，$∠ B=50°$。当$△ BCE$为直角三角形时，$∠ ACE$的度数是。
答案
30°或80°
解析
在△ABC中，∠A=10°，∠B=50°，则∠ACB=180°-∠A-∠B=120°。△BCE为直角三角形时分两种情况：
1. 若∠BEC=90°，则∠BCE=180°-∠B-∠BEC=180°-50°-90°=40°，故∠ACE=∠ACB-∠BCE=120°-40°=80°；
2. 若∠BCE=90°，则∠ACE=∠ACB-∠BCE=120°-90°=30°。
综上，∠ACE的度数是30°或80°。
1. 若∠BEC=90°，则∠BCE=180°-∠B-∠BEC=180°-50°-90°=40°，故∠ACE=∠ACB-∠BCE=120°-40°=80°；
2. 若∠BCE=90°，则∠ACE=∠ACB-∠BCE=120°-90°=30°。
综上，∠ACE的度数是30°或80°。
6. 已知：如图，在$△ ABC$中，$AD$是$BC$边上的高，$E$是$AB$边上一点，$CE$交$AD$于点$M$，且$∠ DCM=∠ MAE$。
求证：$△ AEM$是直角三角形。
求证：$△ AEM$是直角三角形。
答案
证明：
因为$AD$是$BC$边上的高，
所以$∠ ADC = 90°$，
所以$∠ DCM + ∠ CMD = 90°$，
因为$∠ DCM = ∠ MAE$，
所以$∠ MAE + ∠ CMD = 90°$，
因为$∠ CMD = ∠ AME$，
所以$∠ MAE + ∠ AME = 90°$，
所以$∠ AEM = 90°$，
即$△ AEM$是直角三角形。
因为$AD$是$BC$边上的高，
所以$∠ ADC = 90°$，
所以$∠ DCM + ∠ CMD = 90°$，
因为$∠ DCM = ∠ MAE$，
所以$∠ MAE + ∠ CMD = 90°$，
因为$∠ CMD = ∠ AME$，
所以$∠ MAE + ∠ AME = 90°$，
所以$∠ AEM = 90°$，
即$△ AEM$是直角三角形。
7. 提升题 如图，$AD$是$△ ABC$的角平分线，且$AB=AC$，过点$D$作$DE// AC$，交$AB$于点$E$。
（1）试说明$△ ADE$是等腰三角形；
（2）若$AB=10$，$BC=12$，求$AD$的长。
（1）试说明$△ ADE$是等腰三角形；
（2）若$AB=10$，$BC=12$，求$AD$的长。
答案
（1）∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD。
∵DE//AC，∴∠ADE=∠CAD（两直线平行，内错角相等）。
∴∠BAD=∠ADE，∴AE=DE（等角对等边）。
∴△ADE是等腰三角形。
（2）∵AB=AC=10，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，BD=DC=BC/2=6（等腰三角形三线合一）。
在Rt△ABD中，由勾股定理得：
AD=√(AB² - BD²)=√(10² - 6²)=√64=8。
∵DE//AC，∴∠ADE=∠CAD（两直线平行，内错角相等）。
∴∠BAD=∠ADE，∴AE=DE（等角对等边）。
∴△ADE是等腰三角形。
（2）∵AB=AC=10，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，BD=DC=BC/2=6（等腰三角形三线合一）。
在Rt△ABD中，由勾股定理得：
AD=√(AB² - BD²)=√(10² - 6²)=√64=8。
