1. 若等腰三角形的一边长为$6$，一个内角为$60^{\circ}$，则它的周长是()

A.$12$
B.$15$
C.$16$
D.$18$

D

如果一个等腰三角形有一个内角是$60°$，
那么根据等边对等角，它的另一个底角也必须是$60°$（如果是顶角则是$60°$，两个底角分别为$(180°-60°){÷} 2=60°$），
由于三角形内角和为$180°$，
则这个等腰三角形的三个角都为$60°$，
三个角都相等，
根据等边三角形的判定定理，三个角都相等的三角形是等边三角形，
所以这个等腰三角形实际上是等边三角形，
所以三边相等，
已知一边长为$6$，
所以三边长都为$6$，
因此，周长为：
$6+6+6=18$。

2. 如图，在$△ ABC$中，$AB = 6$，$∠ BAC = 30^{\circ}$，$∠ BAC$的平分线交$BC$于点$D$。若$M$，$N$分别是$AD$和$AB$上的动点，则$BM + MN$的最小值是。

3

作点N关于AD的对称点N'，则N'在AC上，且MN=MN'。BM+MN=BM+MN'，当B、M、N'三点共线且BN'⊥AC时，BN'最小，即BM+MN最小。在Rt△ABN'中，∠BAC=30°，AB=6，BN'=AB·sin30°=6×1/2=3。

3. 如图，已知港口$A$的南偏东$80^{\circ}$方向上有一座小岛$B$，一艘货轮从港口$A$沿南偏东$40^{\circ}$方向出发，行驶$80\mathrm{n mile}$到达$C$处，此时观测小岛$B$位于$C$处的北偏东$60^{\circ}$方向。
（1）求此时货轮到小岛$B$的距离。
（2）在小岛$B$周围$36\mathrm{n mile}$范围内是暗礁区，此时货轮向正东方向航行有没有触礁危险？请作出判断并说明理由。

（1）由题意得，∠BAC=80°-40°=40°，∠ACB=40°+60°=100°，
∴∠ABC=180°-40°-100°=40°，
∴∠BAC=∠ABC，
∴AC=BC，
∵AC=80n mile，
∴BC=80n mile。
（2）$
过B作BD⊥正东航线于D，在Rt△BCD中，∠BCD=60°，BC=80n mile，
∴BD=BC·sin60°=80×(√3/2)=40√3≈69.28n mile，
∵40√3＞36，
∴无触礁危险。
（1）80n mile；（2）没有触礁危险。

4. 提升题 已知：如图，在$△ ADB$中，$∠ ADB = 60^{\circ}$，$DC$平分$∠ ADB$，交$AB$于点$C$，且$DC⊥ AB$，过点$C$作$CE// DA$，交$DB$于点$E$，连接$AE$。求证：
（1）$△ ADB$是等边三角形；
（2）$AE⊥ DB$。

（1）∵DC平分∠ADB，∠ADB=60°，∴∠ADC=∠BDC=30°。
∵DC⊥AB，∴∠ACD=∠BCD=90°。
在△ACD和△BCD中，
$\{\begin{array}{l} ∠ADC=∠BDC \\ DC=DC \\ ∠ACD=∠BCD\end{array} $，
∴△ACD≌△BCD（ASA）。
∴AD=BD，AC=BC。
∴△ADB是等腰三角形，又∠ADB=60°，
∴△ADB是等边三角形。
（2）∵CE//DA，∴∠BEC=∠ADB=60°（两直线平行，同位角相等）。
∵△ADB是等边三角形，∴∠B=60°。
在△BEC中，∠B=∠BEC=60°，∴∠BCE=60°，
∴△BEC是等边三角形，∴BE=BC。
由（1）知AC=BC，设AB=2a，则AC=BC=a，∴BE=a。
∵BD=AB=2a，∴DE=BD-BE=2a-a=a，∴DE=BE，即E为BD中点。
∵△ADB是等边三角形，AE是中线，∴AE⊥DB（等边三角形三线合一）。