8. （2024·云南）如图，$AB$与$CD$交于点$O$，且$AC// BD$. 若$\frac{OA + OC + AC}{OB + OD + BD}=\frac{1}{2}$，则$\frac{AC}{BD}$的值为________.
　　　　　　　　　

$\frac{1}{2}$

9. 在平面直角坐标系中，点$A$的坐标是$(-2,1)$，以原点$O$为位似中心，把线段$OA$放大为原来的2倍，点$A$的对应点为$A'$. 若点$A'$恰在某一反比例函数的图像上，则该反比例函数的表达式为________.

y=$-\frac{8}{x}$

10. 如图，在正方形$ABCD$中，$AB = 12$，$AE=\frac{1}{4}AB$，点$P$在$BC$上运动（不与点$B$、$C$重合），过点$P$作$PQ\perp EP$，交$CD$于点$Q$，则$CQ$长的最大值为________.
　　　　　　

10

11. 如图，$\triangle ABO$的顶点$A$在函数$y = \frac{k}{x}(x＞0)$的图像上，$\angle ABO = 90^{\circ}$，过$AO$的三等分点$M$、$N$分别作$x$轴的平行线，交$AB$于点$P$、$Q$. 若四边形$MNQP$的面积为3，则$k$的值为________.
　　　　　　

18

12. （2024·眉山）如图，菱形$ABCD$的边长为6，$\angle BAD = 120^{\circ}$，过点$D$作$DE\perp BC$，交$BC$的延长线于点$E$，连接$AE$分别交$BD$、$CD$于点$F$、$G$，则$FG$的长为________.
　　　　　　　　　　　　　

$\frac{4\sqrt{7}}{5}$

13. （2024·苏州）如图，在$\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$CB = 5$，$CA = 10$，点$D$、$E$分别在边$AC$、$AB$上，$AE=\sqrt{5}AD$，连接$DE$，将$\triangle ADE$沿$DE$折叠，得到$\triangle FDE$，连接$CE$、$CF$. 若$\triangle CEF$的面积是$\triangle BEC$面积的2倍，则$AD$的长为________.
　　　　　　

$\frac{10}{3}$　解析:∵AE=$\sqrt{5}$AD,∴可设AD=x，则AE=$\sqrt{5}$x.由折叠，得DF=AD=x,∠ADE=∠FDE.如图，过点E作EH⊥AC于点H，设EF与AC相交于点M,则易得△AHE∽△ACB.∴$\frac{EH}{BC}$=$\frac{AH}{AC}$=$\frac{AE}{AB}$.∵CB=5,CA=10,∴在Rt△ABC中,AB=$\sqrt{CA^{2}+CB^{2}}$=$\sqrt{10^{2}+5^{2}}$=5$\sqrt{5}$.∴$\frac{EH}{5}$=$\frac{AH}{10}$=$\frac{\sqrt{5}x}{5\sqrt{5}}$，∴EH=x,AH=2x.∴DH=AH-AD=x=EH.∴△EHD是等腰直角三角形.∴∠HDE=∠HED=45°.∴∠FDE=∠ADE=135°.∴∠FDM=135°-45°=90°.易得△FDM≌△EHM.∴DM=MH=$\frac{1}{2}$x，∴CM=AC - AD - DM = 10-$\frac{3}{2}$x.∴S△CEF=S△CME+S△CMF=$\frac{1}{2}$CM·(EH+DF)=$\frac{1}{2}$(10-$\frac{3}{2}$x)·2x = 10x-$\frac{3}{2}$x².又∵S△CEF=2S△BEC，S△BEC=S△ABC-S△AEC=$\frac{1}{2}$×10×5-$\frac{1}{2}$×10x = 25 - 5x，∴10x-$\frac{3}{2}$x²=2(25 - 5x).整理，得3x²-40x + 100 = 0，解得x₁=$\frac{10}{3}$，x₂=10（不合题意，舍去）.∴AD=$\frac{10}{3}$

14. 如图，四边形$ABCD$为菱形，点$E$在$AC$的延长线上，$\angle ACD=\angle EBA$.
（1）求证：$\triangle ABC\sim\triangle AEB$；
（2）当$AB = 6$，$AC = 4$时，求$AE$的长.
　　　　

(1)∵四边形ABCD为菱形，∴∠ACD=∠BCA.∵∠ACD=∠EBA，∴∠BCA=∠EBA.∵∠BAC=∠EAB，∴△ABC∽△AEB　(2)∵△ABC∽△AEB，∴$\frac{AB}{AE}$=$\frac{AC}{AB}$.∵AB=6，AC=4，∴$\frac{6}{AE}$=$\frac{4}{6}$，∴AE=9