15. （2024·南通改编）如图，在$\triangle ABC$中，$AB = AC = 1$，$BC=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，在边$AC$上截取$AD = BC$，连接$BD$.
（1）通过计算，判断$AD^{2}$与$AC\cdot CD$的大小关系；
（2）求$\angle ABD$的度数.
　　

(1)∵BC=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，AD=BC，∴AD=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$.∵AB=AC=1，∴CD=1-$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$=$\frac{3 - \sqrt{5}}{2}$.∴AD²=($\frac{\sqrt{5}-1}{2}$)²=$\frac{3 - \sqrt{5}}{2}$，AC·CD = 1×$\frac{3 - \sqrt{5}}{2}$=$\frac{3 - \sqrt{5}}{2}$.∴AD²=AC·CD
(2)∵AD=BC，AD²=AC·CD，∴BC²=AC·CD，即$\frac{BC}{AC}$=$\frac{CD}{CB}$.又∵∠C=∠C，∴△BCD∽△ACB.∴$\frac{BC}{AC}$=$\frac{BD}{AB}$，∠BDC=∠ABC，∠DBC=∠A.又∵AB=AC，∴∠ABC=∠C.∴∠C=∠BDC.∴BC=BD=AD.∴∠ABD=∠A=∠DBC.设∠ABD=x，则∠A=∠DBC=x，∴∠ABC=∠ABD+∠DBC=2x.∴∠C=2x.∵在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C=180°，∴x + 2x + 2x = 180°，解得x = 36°.∴∠ABD = 36°

16. （2024·包头）在$\square ABCD$中，$\angle ABC$为锐角，点$E$在边$AD$上，连接$BE$、$CE$，且$S_{\triangle ABE}=S_{\triangle DCE}$.
（1）如图①，若$F$是边$BC$的中点，连接$EF$，对角线$AC$分别与$BE$、$EF$相交于点$G$、$H$.
① 求证：$H$是$AC$的中点；
② 求$AG:GH:HC$.
（2）如图②，$BE$的延长线与$CD$的延长线相交于点$M$，连接$AM$，$CE$的延长线与$AM$相交于点$N$. 试探究线段$AM$与线段$AN$之间的数量关系，并证明你的结论.
　　

(1)①∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC，AD=BC.∴∠EAH=∠FCH.∵S△ABE=S△DCE，∴易得AE=DE=$\frac{1}{2}$AD.∵F是BC的中点，∴CF=$\frac{1}{2}$BC.∴CF=AE.∵∠AHE=∠CHF，∴△AEH≌△CFH.∴AH=CH.∴H是AC的中点　②∵∠EAH=∠FCH，∠AGE=∠CGB，∴△AGE∽△CGB.∴$\frac{AG}{CG}$=$\frac{AE}{CB}$，∴$\frac{AG}{CG}$=$\frac{AE}{AD}$=$\frac{1}{2}$.设AG=2a，则CG=4a，∴AC=AG+CG=6a，∴AH=CH=3a.∴GH=AH - AG=a，∴AG:GH:HC = 2a:a:3a = 2:1:3　(2)AM = 3AN　如图，过点M作MQ//BC，交CN的延长线于点Q.∵在□ABCD中，AD//CB，即ED//BC，∴△MED∽△MBC.∴$\frac{EM}{BM}$=$\frac{ED}{BC}$，∴$\frac{EM}{BM}$=$\frac{ED}{AD}$=$\frac{1}{2}$，∴EM=$\frac{1}{2}$BM = BE.∵MQ//BC，∴∠MQE=∠BCE.∵∠MEQ=∠BEC，EM=EB，∴△MQE≌△BCE.∴MQ=BC.∴MQ=AD.∵MQ//BC，AD//CB，∴MQ//AD.∴∠MQE=∠AEN.∵∠MNQ=∠ANE，∴△MQN∽△AEN.∴$\frac{MN}{AN}$=$\frac{MQ}{AE}$，∴$\frac{MN}{AN}$=$\frac{AD}{AE}$=2.∴MN = 2AN.∴AM = MN + AN = 3AN