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17. （2024·威海）如图，$AB$是$\odot O$的直径，点$C$、$D$在$\odot O$上，且$BC = CD$. $E$是线段$AB$的延长线上一点，连接$EC$并延长，交射线$AD$于点$F$. $\angle FEG$的平分线$EH$交射线$AC$于点$H$，$\angle H = 45^{\circ}$.
（1）求证：$EF$是$\odot O$的切线；
（2）若$BE = 2$，$CE = 4$，求$AF$的长.
（1）求证：$EF$是$\odot O$的切线；
（2）若$BE = 2$，$CE = 4$，求$AF$的长.
答案
(1)连接OC.∵OA = OC，∴∠OAC=∠OCA.∵BC = CD，∴∠DAC=∠BAC=$\frac{1}{2}$∠BAF.∴∠OCA=∠DAC.∴OC//AF.∴∠OCE=∠F.∵EH平分∠FEG，∴∠FEG = 2∠GEH.∵∠GEH=∠H+∠BAC，∠FEG=∠F+∠BAF，∴2∠H + 2∠BAC=∠F+∠BAF.∵∠BAF = 2∠BAC，∴∠F = 2∠H = 90°.∴∠OCE = 90°，即OC⊥EF.∵OC是⊙O的半径，∴EF是⊙O的切线 （2）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB = 90°.∴∠OBC+∠BAC = 90°.∵∠OCE = 90°，∴∠OCB+∠BCE = 90°.∵OB = OC，∴∠OBC=∠OCB.∴∠BCE=∠CAE.∵∠CEB=∠AEC，∴△BCE∽△CAE.∴$\frac{BE}{CE}$=$\frac{CE}{AE}$=$\frac{BC}{CA}$=$\frac{2}{4}$=$\frac{1}{2}$.∴CE²=BE·AE，即16 = 2AE，解得AE = 8.∴AB = 8 - 2 = 6.∵在Rt△ABC中，AB = 6，$\frac{BC}{CA}$=$\frac{1}{2}$，∴AC=$\frac{12\sqrt{5}}{5}$.∵∠F=∠ACB = 90°，∠FAC=∠CAB，∴△FAC∽△CAB.∴$\frac{AF}{AC}$=$\frac{AC}{AB}$，∴AF=$\frac{AC^{2}}{AB}$=$\frac{24}{5}$
18. 如图，在平面直角坐标系中，矩形$OABC$的顶点$A$、$C$分别在$x$轴、$y$轴的正半轴上，点$B$的坐标是$(5,2)$，$P$是边$CB$上一动点（不与点$C$、$B$重合），连接$OP$、$AP$，过点$O$作射线$OE$，交$AP$的延长线于点$E$，交边$CB$于点$M$，且$\angle AOP=\angle COM$，令$CP = x$，$MP = y$.
（1）当$x$为何值时，$OP\perp AP$？
（2）求$y$与$x$之间的函数表达式，并写出$x$的取值范围.
（3）在点$P$运动的过程中，是否存在$x$，使$\triangle OCM$与$\triangle ABP$的面积之和等于$\triangle EMP$的面积？若存在，请求出$x$的值；若不存在，请说明理由.
（1）当$x$为何值时，$OP\perp AP$？
（2）求$y$与$x$之间的函数表达式，并写出$x$的取值范围.
（3）在点$P$运动的过程中，是否存在$x$，使$\triangle OCM$与$\triangle ABP$的面积之和等于$\triangle EMP$的面积？若存在，请求出$x$的值；若不存在，请说明理由.
答案
(1)根据题意，知OA = CB = 5，AB = OC = 2，∠B=∠OCM = 90°，BC//OA.若OP⊥AP，则∠OPC+∠APB=∠APB+∠PAB = 90°.∴∠OPC=∠PAB.∴△OPC∽△PAB.∴$\frac{CP}{BA}$=$\frac{OC}{PB}$，即$\frac{x}{2}$=$\frac{2}{5 - x}$，解得x₁=4，x₂=1.∵BC//OA，∴∠CPO=∠AOP.∵∠AOP=∠COM，∴∠COM=∠CPO.∵∠OCM=∠PCO，∴△OCM∽△PCO.∴$\frac{CM}{CO}$=$\frac{CO}{CP}$，即$\frac{x - y}{2}$=$\frac{2}{x}$，∴y = x-$\frac{4}{x}$.当x = 1时，y=-3＜0，∴x = 1不合题意，舍去.∴当x = 4时，OP⊥AP
(2)由(1)，知y = x-$\frac{4}{x}$.∵y＞0，∴x-$\frac{4}{x}$＞0，易得x＞2.又∵x＜5，∴x的取值范围是2＜x＜5 （3）存在 过点E作ED⊥OA于点D，交MP于点F，则易得DF = AB = 2，EF⊥MP.∵△OCM与△ABP的面积之和等于△EMP的面积，∴S△OEA=S矩形OABC.∴$\frac{1}{2}$×5ED = 2×5.∴ED = 4.∴EF = ED - DF = 2.∵PM//OA，∴△EMP∽△EOA.∴$\frac{EF}{ED}$=$\frac{MP}{OA}$，即$\frac{2}{4}$=$\frac{y}{5}$，解得y=$\frac{5}{2}$.由(2)，知y = x-$\frac{4}{x}$，∴x-$\frac{4}{x}$=$\frac{5}{2}$，解得x₁=$\frac{5+\sqrt{89}}{4}$，x₂=$\frac{5 - \sqrt{89}}{4}$（不合题意，舍去）.∴在点P运动的过程中，存在x=$\frac{5+\sqrt{89}}{4}$，使△OCM与△ABP的面积之和等于△EMP的面积
(2)由(1)，知y = x-$\frac{4}{x}$.∵y＞0，∴x-$\frac{4}{x}$＞0，易得x＞2.又∵x＜5，∴x的取值范围是2＜x＜5 （3）存在 过点E作ED⊥OA于点D，交MP于点F，则易得DF = AB = 2，EF⊥MP.∵△OCM与△ABP的面积之和等于△EMP的面积，∴S△OEA=S矩形OABC.∴$\frac{1}{2}$×5ED = 2×5.∴ED = 4.∴EF = ED - DF = 2.∵PM//OA，∴△EMP∽△EOA.∴$\frac{EF}{ED}$=$\frac{MP}{OA}$，即$\frac{2}{4}$=$\frac{y}{5}$，解得y=$\frac{5}{2}$.由(2)，知y = x-$\frac{4}{x}$，∴x-$\frac{4}{x}$=$\frac{5}{2}$，解得x₁=$\frac{5+\sqrt{89}}{4}$，x₂=$\frac{5 - \sqrt{89}}{4}$（不合题意，舍去）.∴在点P运动的过程中，存在x=$\frac{5+\sqrt{89}}{4}$，使△OCM与△ABP的面积之和等于△EMP的面积
