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7. 判断下列命题的真假并证明：对于任意偶数，比其大$3$的数与该偶数的平方差能被$3$整除。
答案
解：该命题是真命题。证明：设任意偶数为2k(k为整数)，
比其大3的数为2k + 3。则平方差为$(2k + 3)^2 - (2k)^2$，
展开得$4k^2 + 12k + 9 - 4k^2 = 12k + 9 = 3(4k + 3)$。
因为k为整数，所以4k + 3是整数，因此3(4k + 3)能被3整除，
即该平方差能被3整除。
比其大3的数为2k + 3。则平方差为$(2k + 3)^2 - (2k)^2$，
展开得$4k^2 + 12k + 9 - 4k^2 = 12k + 9 = 3(4k + 3)$。
因为k为整数，所以4k + 3是整数，因此3(4k + 3)能被3整除，
即该平方差能被3整除。
8. 计算：
$(1^{2}+3^{2}+5^{2}+···97^{2}+99^{2})-(2^{2}+4^{2}+6^{2}+···100^{2})$
$(1^{2}+3^{2}+5^{2}+···97^{2}+99^{2})-(2^{2}+4^{2}+6^{2}+···100^{2})$
答案
解：原式=1²-2²+3²-4²+...+99²-100²
=(1+2)(1-2)+(3+4)(3-4)+...+(99+100)(99-100)
=-3-7-...-199
=-5050
=(1+2)(1-2)+(3+4)(3-4)+...+(99+100)(99-100)
=-3-7-...-199
=-5050
