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9. 如图，在矩形 $ABCD$ 中，$AB = 6$，$BC = 8$，点 $P$ 为对角线 $AC$ 上的一个动点(点 $P$ 不与点 $A$，$C$ 重合)，点 $P$ 关于 $AB$ 的对称点为点 $E$，点 $P$ 关于 $BC$ 的对称点为点 $F$，连接 $EF$，且 $EF$ 经过点 $B$，则在点 $P$ 的运动过程中，线段 $EF$ 长度的最小值等于.
答案
$\boldsymbol{\frac{48}{5}}$
解析
1. 根据对称性质：点P关于AB的对称点为E，则$BE=BP$，$∠ ABE=∠ ABP$；点P关于BC的对称点为F，则$BF=BP$，$∠ CBF=∠ CBP$。
2. 因为矩形中$∠ ABC=90°$，所以$∠ ABE+∠ CBF=∠ ABP+∠ CBP=90°$，可得$∠ EBF=180°$，即E、B、F三点共线，因此$EF=BE+BF=2BP$。
3. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，由勾股定理得$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$。
4. 利用面积法求$BP$的最小值：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB× BC=\frac{1}{2}× AC× BP_{\mathrm{最小}}$，代入数据得$\frac{1}{2}×6×8=\frac{1}{2}×10× BP_{\mathrm{最小}}$，解得$BP_{\mathrm{最小}}=\frac{24}{5}$。
5. 则$EF$的最小值为$2×\frac{24}{5}=\frac{48}{5}$。
2. 因为矩形中$∠ ABC=90°$，所以$∠ ABE+∠ CBF=∠ ABP+∠ CBP=90°$，可得$∠ EBF=180°$，即E、B、F三点共线，因此$EF=BE+BF=2BP$。
3. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，由勾股定理得$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$。
4. 利用面积法求$BP$的最小值：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB× BC=\frac{1}{2}× AC× BP_{\mathrm{最小}}$，代入数据得$\frac{1}{2}×6×8=\frac{1}{2}×10× BP_{\mathrm{最小}}$，解得$BP_{\mathrm{最小}}=\frac{24}{5}$。
5. 则$EF$的最小值为$2×\frac{24}{5}=\frac{48}{5}$。
10. 如图，在矩形 $ABCD$ 中，$AB = 6$，$AD = 4$，点 $M$ 为 $DC$ 的中点，连接 $AM$，过点 $B$ 作 $BP⊥ AM$，垂足为 $P$. 连接 $CP$ 并延长交 $AD$ 于点 $E$.
(1) 求证 $AE = EP$.
(2) 求 $AE$ 的长.
(1) 求证 $AE = EP$.
(2) 求 $AE$ 的长.
答案
(1) 证明：
∵ 四边形$ABCD$是矩形，
∴ $∠ D=∠ BAD=90°$，$AB=CD=6$，$AD=BC=4$，$AB// CD$，
∴ $∠ AMD=∠ BAM$．
∵ $BP⊥ AM$，
∴ $∠ APB=90°=∠ D$，
∵ $∠ DAM+∠ BAM=90°$，$∠ ABP+∠ BAM=90°$，
∴ $∠ DAM=∠ ABP$，
∴ $△ ADM∽△ BPA$（AA）．
∵ $M$为$DC$中点，∴ $DM=\frac{1}{2}CD=3$，
在$\mathrm{Rt}△ ADM$中，$AM=\sqrt{AD^2+DM^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$，
由相似得：$\frac{AP}{DM}=\frac{AB}{AM}$，即$\frac{AP}{3}=\frac{6}{5}$，解得$AP=\frac{18}{5}$．
过点$P$作$PF⊥ AD$于$F$，
∵ $PF// DM$，
∴ $△ APF∽△ AMD$，
∴ $\frac{AF}{AD}=\frac{PF}{DM}=\frac{AP}{AM}$，
即$\frac{AF}{4}=\frac{PF}{3}=\frac{18/5}{5}$，
解得$AF=\frac{72}{25}$，$PF=\frac{54}{25}$．
设$AE=x$，则$EF=AF-AE=\frac{72}{25}-x$，
在$\mathrm{Rt}△ EFP$中，$EP^2=EF^2+PF^2=(\frac{72}{25}-x)^2+(\frac{54}{25})^2$，
若$AE=EP$，则$x^2=(\frac{72}{25}-x)^2+(\frac{54}{25})^2$，
展开得：$x^2=\frac{72^2}{25^2}-\frac{144x}{25}+x^2+\frac{54^2}{25^2}$，
消去$x^2$，整理得：$\frac{144x}{25}=\frac{72^2+54^2}{25^2}$，
计算得：$72^2+54^2=8100$，
∴ $\frac{144x}{25}=\frac{8100}{625}$，
解得$x=\frac{9}{4}$，即$AE=EP$，得证．
(2) 解：
由(1)的计算可知，$AE$的长为$\frac{9}{4}$．
∵ 四边形$ABCD$是矩形，
∴ $∠ D=∠ BAD=90°$，$AB=CD=6$，$AD=BC=4$，$AB// CD$，
∴ $∠ AMD=∠ BAM$．
∵ $BP⊥ AM$，
∴ $∠ APB=90°=∠ D$，
∵ $∠ DAM+∠ BAM=90°$，$∠ ABP+∠ BAM=90°$，
∴ $∠ DAM=∠ ABP$，
∴ $△ ADM∽△ BPA$（AA）．
∵ $M$为$DC$中点，∴ $DM=\frac{1}{2}CD=3$，
在$\mathrm{Rt}△ ADM$中，$AM=\sqrt{AD^2+DM^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$，
由相似得：$\frac{AP}{DM}=\frac{AB}{AM}$，即$\frac{AP}{3}=\frac{6}{5}$，解得$AP=\frac{18}{5}$．
过点$P$作$PF⊥ AD$于$F$，
∵ $PF// DM$，
∴ $△ APF∽△ AMD$，
∴ $\frac{AF}{AD}=\frac{PF}{DM}=\frac{AP}{AM}$，
即$\frac{AF}{4}=\frac{PF}{3}=\frac{18/5}{5}$，
解得$AF=\frac{72}{25}$，$PF=\frac{54}{25}$．
设$AE=x$，则$EF=AF-AE=\frac{72}{25}-x$，
在$\mathrm{Rt}△ EFP$中，$EP^2=EF^2+PF^2=(\frac{72}{25}-x)^2+(\frac{54}{25})^2$，
若$AE=EP$，则$x^2=(\frac{72}{25}-x)^2+(\frac{54}{25})^2$，
展开得：$x^2=\frac{72^2}{25^2}-\frac{144x}{25}+x^2+\frac{54^2}{25^2}$，
消去$x^2$，整理得：$\frac{144x}{25}=\frac{72^2+54^2}{25^2}$，
计算得：$72^2+54^2=8100$，
∴ $\frac{144x}{25}=\frac{8100}{625}$，
解得$x=\frac{9}{4}$，即$AE=EP$，得证．
(2) 解：
由(1)的计算可知，$AE$的长为$\frac{9}{4}$．
11. 在矩形 $ABCD$ 中，$AB = 6$，$AD = 8$，$E$ 是 $BC$ 边上一点，$EF⊥ AE$，且 $EF = AE$.
(1) 如图①，当点 $F$ 在 $CD$ 边上时，求 $BE$ 的长.
(2) 如图②，若 $DF⊥ EF$，求 $\dfrac{BE}{BC}$ 的值.
(3) 如图③，$Q$ 为 $AF$ 的中点，直接写出 $CQ$ 的最小值是.
(1) 如图①，当点 $F$ 在 $CD$ 边上时，求 $BE$ 的长.
(2) 如图②，若 $DF⊥ EF$，求 $\dfrac{BE}{BC}$ 的值.
(3) 如图③，$Q$ 为 $AF$ 的中点，直接写出 $CQ$ 的最小值是.
答案
解：
(1) ∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠B=∠C=90°，BC=AD=8，
∵ EF⊥AE，∴ ∠AEF=90°，
∴ ∠BAE+∠AEB=90°，∠AEB+∠CEF=90°，
∴ ∠BAE=∠CEF，
在△ABE和△ECF中，
$\begin{cases}∠B=∠C \\∠BAE=∠CEF \\AE=EF\end{cases}$
∴ △ABE≌△ECF(AAS)，
∴ AB=EC=6，
∴ BE=BC-EC=8-6=2。
(2) 过点F作FG⊥BC，交BC的延长线于点G，
∵ ∠B=∠EGF=90°，∠AEF=90°，
∴ ∠BAE+∠AEB=90°，∠FEG+∠AEB=90°，
∴ ∠BAE=∠FEG，
在△ABE和△EGF中，
$\begin{cases}∠B=∠EGF \\∠BAE=∠FEG \\AE=EF\end{cases}$
∴ △ABE≌△EGF(AAS)，
∴ AB=EG=6，BE=FG，
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠DCG=90°，DC=AB=6，
又∵ DF⊥EF，∠DFE=90°，
∴ 四边形DCGF是矩形，
∴ FG=DC=6，
∴ BE=6，
∵ BC=8，
∴ $\dfrac{BE}{BC}=\dfrac{6}{8}=\dfrac{3}{4}$。
(3) 以B为原点，BC为x轴，BA为y轴建立平面直角坐标系，
则A(0,6)，C(8,0)，设E(e,0)(0≤e≤8)，
由AE⊥EF且AE=EF，得F(e+6,e)，
∵ Q是AF的中点，
∴ Q的坐标为$(\dfrac{e+6}{2},\dfrac{e+6}{2})$，即Q在直线$y=x$上，
点C到直线$y=x$的距离为$\dfrac{|8-0|}{\sqrt{1^2+1^2}}=4\sqrt{2}$，
故CQ的最小值为$\boldsymbol{4\sqrt{2}}$。
(1) ∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠B=∠C=90°，BC=AD=8，
∵ EF⊥AE，∴ ∠AEF=90°，
∴ ∠BAE+∠AEB=90°，∠AEB+∠CEF=90°，
∴ ∠BAE=∠CEF，
在△ABE和△ECF中，
$\begin{cases}∠B=∠C \\∠BAE=∠CEF \\AE=EF\end{cases}$
∴ △ABE≌△ECF(AAS)，
∴ AB=EC=6，
∴ BE=BC-EC=8-6=2。
(2) 过点F作FG⊥BC，交BC的延长线于点G，
∵ ∠B=∠EGF=90°，∠AEF=90°，
∴ ∠BAE+∠AEB=90°，∠FEG+∠AEB=90°，
∴ ∠BAE=∠FEG，
在△ABE和△EGF中，
$\begin{cases}∠B=∠EGF \\∠BAE=∠FEG \\AE=EF\end{cases}$
∴ △ABE≌△EGF(AAS)，
∴ AB=EG=6，BE=FG，
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠DCG=90°，DC=AB=6，
又∵ DF⊥EF，∠DFE=90°，
∴ 四边形DCGF是矩形，
∴ FG=DC=6，
∴ BE=6，
∵ BC=8，
∴ $\dfrac{BE}{BC}=\dfrac{6}{8}=\dfrac{3}{4}$。
(3) 以B为原点，BC为x轴，BA为y轴建立平面直角坐标系，
则A(0,6)，C(8,0)，设E(e,0)(0≤e≤8)，
由AE⊥EF且AE=EF，得F(e+6,e)，
∵ Q是AF的中点，
∴ Q的坐标为$(\dfrac{e+6}{2},\dfrac{e+6}{2})$，即Q在直线$y=x$上，
点C到直线$y=x$的距离为$\dfrac{|8-0|}{\sqrt{1^2+1^2}}=4\sqrt{2}$，
故CQ的最小值为$\boldsymbol{4\sqrt{2}}$。
