例 如图，在△ABC 中，D，E，F 分别是 AC，AB，BC 的中点，且 CE = $\frac{1}{2}$AB，求证四边形 CFED 是矩形.

分析：由三角形三边中点的条件，易得 DE，EF 是△ABC 的中位线，得到四边形 CFED 两组对边分别平行，所以四边形 CFED 是平行四边形，再由中位线等于第三边长的一半，得出 DF = $\frac{1}{2}$AB，等量代换得 CE = DF，从而得到平行四边形 CFED 的对角线相等，得出它是矩形.
证明：∵D，E，F 分别是 AC，AB，BC 的中点，
∴DE // BC，EF // AC，且 DF = $\frac{1}{2}$AB.∴四边形 CFED 是平行四边形.
又∵CE = $\frac{1}{2}$AB，∴CE = DF.∴平行四边形 CFED 是矩形.

证明：
∵D，E，F分别是AC，AB，BC的中点，
∴$DE// BC$，$EF// AC$，$DF=\frac{1}{2}AB$，
∴四边形CFED是平行四边形，
又∵$CE=\frac{1}{2}AB$，
∴$CE=DF$，
∴平行四边形CFED是矩形。

1. 诚诚用橡胶皮和布料自制了一块四边形鼠标垫，为了检验这块鼠标垫是不是标准的矩形，他想出了以下几种方案，其中合理的是().

A.测量一组对边是否平行且相等
B.测量两组对边是否分别相等
C.测量其中的三个角是否都为直角
D.测量对角线是否相等

C

根据矩形的判定定理分析各选项：
选项A：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，无法判定为矩形；
选项B：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，无法判定为矩形；
选项C：四边形内角和为360°，若三个角为直角，则第四个角也为直角，四个角都是直角的四边形是矩形，可判定；
选项D：对角线相等的四边形不一定是矩形（如等腰梯形），无法判定。
因此合理的是选项C。

2. 如图，四边形 ABCD 是平行四边形，添加下列条件，能判定这个四边形是矩形的是().


A.∠BAD = ∠ABC
B.AB ⊥ BD
C.AC ⊥ BD
D.AB = BC

A

1. 在平行四边形ABCD中，AD//BC，因此∠BAD+∠ABC=180°。若∠BAD=∠ABC，则∠BAD=∠ABC=90°，根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”，可判定该四边形为矩形。
2. 选项B：AB⊥BD，无法推出平行四边形满足矩形的判定条件；选项C：AC⊥BD，此条件判定平行四边形为菱形；选项D：AB=BC，此条件判定平行四边形为菱形。综上，只有选项A能判定四边形是矩形。