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重难点2 应用数形结合思想解决二元一次方程组的应用问题
【典例 2】学校需要一些酒精灯和漏斗，根据图中信息，回答下列问题：
(1)求酒精灯和漏斗的单价；
(2)买$5$个酒精灯和$20$个漏斗，商家打八折出售，求学校花的钱数。
解：(1)设酒精灯的单价为$x$元，漏斗的单价为$y$元，根据题意，得$\begin{cases}2x + 2y = 16,\\x + 3y = 12,\end{cases}$
解得$\begin{cases}x = 6,\\y = 2,\end{cases}$
答：酒精灯单价为$6$元，漏斗单价为$2$元。
(2)由题意，得$(6×5 + 2×20)×0.8 = 56$(元)。答：学校需花$56$元。
【典例 2】学校需要一些酒精灯和漏斗，根据图中信息，回答下列问题：
(1)求酒精灯和漏斗的单价；
(2)买$5$个酒精灯和$20$个漏斗，商家打八折出售，求学校花的钱数。
解：(1)设酒精灯的单价为$x$元，漏斗的单价为$y$元，根据题意，得$\begin{cases}2x + 2y = 16,\\x + 3y = 12,\end{cases}$
解得$\begin{cases}x = 6,\\y = 2,\end{cases}$
答：酒精灯单价为$6$元，漏斗单价为$2$元。
(2)由题意，得$(6×5 + 2×20)×0.8 = 56$(元)。答：学校需花$56$元。
答案
(1)酒精灯单价6元，漏斗单价2元；(2)56元
解析
(1)设酒精灯单价为$x$元，漏斗单价为$y$元，依题意列方程组$\begin{cases}2x + 2y = 16 \\ x + 3y = 12\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = 6 \\ y = 2\end{cases}$。(2)计算原价$6×5 + 2×20 = 70$元，打折后$70×0.8 = 56$元。
【对点训练】
2. 小明用$8$个一样大的小长方形(长为$a\ cm$，宽为$b\ cm$)拼图，拼出了如图甲、乙两种图案：图案甲是一个正方形，图案乙是一个大的长方形；图案甲的中间留下了边长是$2\ cm$的正方形小洞。求小长方形的长和宽。
2. 小明用$8$个一样大的小长方形(长为$a\ cm$，宽为$b\ cm$)拼图，拼出了如图甲、乙两种图案：图案甲是一个正方形，图案乙是一个大的长方形；图案甲的中间留下了边长是$2\ cm$的正方形小洞。求小长方形的长和宽。
答案
长为10cm，宽为6cm
解析
由图案乙可知，大长方形的面积等于8个小长方形的面积，且大长方形的长为5b cm，宽为(a + b) cm，故5b(a + b) = 8ab，化简得3a = 5b ①；由图案甲可知，大正方形边长为(a + 2b) cm，其面积等于8个小长方形面积与小洞面积之和，且小洞边长为2 cm，即2b - a = 2 ②。联立①②，由①得a = 5b/3，代入②：2b - 5b/3 = 2，解得b = 6，进而a = 10。
基础巩固
1. “践行垃圾分类·助力双碳目标”主题班会结束后，甲和乙一起收集了一些废电池，甲说：“我比你多收集了$7$节废电池。”乙说：“如果你给我$9$节废电池，我的废电池数量就是你的$2$倍。”设甲收集了$x$节废电池，乙收集了$y$节废电池，根据题意可列方程组为()
A. $\begin{cases}y - x = 7,\\x + 9 = 2(y - 9)\end{cases}$
B. $\begin{cases}x - y = 7,\\2(x - 9) = y\end{cases}$
C. $\begin{cases}x - y = 7,\\x - 9 = 2(y + 9)\end{cases}$
D. $\begin{cases}x - y = 7,\\2(x - 9) = y + 9\end{cases}$
2. 足球比赛的积分规则是：胜一场积$3$分，平一场积$1$分，负一场积$0$分。一支中学生足球队参加了$15$场比赛，负了$4$场，共积$29$分，则这支球队胜了()
A. $5$场
B. $7$场
C. $9$场
D. $11$场
3. 两个两位数的和是$68$，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数。已知前一个四位数比后一个四位数大$990$。若设较大的两位数为$x$，较小的两位数为$y$，根据题意可列方程组()
A. $\begin{cases}x + y = 68,\\10x + y - 10y + x = 990\end{cases}$
B. $\begin{cases}x + y = 68,\\(10x + y) - (10y + x) = 990\end{cases}$
C. $\begin{cases}x + y = 68,\\(100x + y) - (100y + x) = 990\end{cases}$
D. $\begin{cases}10x + y = 68,\\(100x + y) - (100y + x) = 990\end{cases}$
4. 如图，$2$个塑料凳子叠放在一起的高度为$60\ cm$，$4$个塑料凳子叠放在一起的高度为$80\ cm$，塑料凳子相同且叠放时均忽略缝隙，则$11$个塑料凳子叠放在一起时的高度为()
A. $120\ cm$
B. $130\ cm$
C. $140\ cm$
D. $150\ cm$
5. 我国明代数学家程大位的名著《直指算法统宗》里有一道著名算题：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大、小和尚各几丁？意思是：有$100$个和尚分$100$个馒头，正好分完，如果大和尚一人分$3$个，小和尚$3$人分一个，试问大、小和尚各几人？设大、小和尚各有$x,y$人，则可以列方程组$\begin{cases}\_\_\_\_\_\_,\\\_\_\_\_\_\_.\end{cases}$
6. 一个大正方形和四个全等的小正方形按图$1$、图$2$两种方式摆放，根据图中数据，则图$2$的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积为。
1. “践行垃圾分类·助力双碳目标”主题班会结束后，甲和乙一起收集了一些废电池，甲说：“我比你多收集了$7$节废电池。”乙说：“如果你给我$9$节废电池，我的废电池数量就是你的$2$倍。”设甲收集了$x$节废电池，乙收集了$y$节废电池，根据题意可列方程组为()
A. $\begin{cases}y - x = 7,\\x + 9 = 2(y - 9)\end{cases}$
B. $\begin{cases}x - y = 7,\\2(x - 9) = y\end{cases}$
C. $\begin{cases}x - y = 7,\\x - 9 = 2(y + 9)\end{cases}$
D. $\begin{cases}x - y = 7,\\2(x - 9) = y + 9\end{cases}$
2. 足球比赛的积分规则是：胜一场积$3$分，平一场积$1$分，负一场积$0$分。一支中学生足球队参加了$15$场比赛，负了$4$场，共积$29$分，则这支球队胜了()
A. $5$场
B. $7$场
C. $9$场
D. $11$场
3. 两个两位数的和是$68$，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数。已知前一个四位数比后一个四位数大$990$。若设较大的两位数为$x$，较小的两位数为$y$，根据题意可列方程组()
A. $\begin{cases}x + y = 68,\\10x + y - 10y + x = 990\end{cases}$
B. $\begin{cases}x + y = 68,\\(10x + y) - (10y + x) = 990\end{cases}$
C. $\begin{cases}x + y = 68,\\(100x + y) - (100y + x) = 990\end{cases}$
D. $\begin{cases}10x + y = 68,\\(100x + y) - (100y + x) = 990\end{cases}$
4. 如图，$2$个塑料凳子叠放在一起的高度为$60\ cm$，$4$个塑料凳子叠放在一起的高度为$80\ cm$，塑料凳子相同且叠放时均忽略缝隙，则$11$个塑料凳子叠放在一起时的高度为()
A. $120\ cm$
B. $130\ cm$
C. $140\ cm$
D. $150\ cm$
5. 我国明代数学家程大位的名著《直指算法统宗》里有一道著名算题：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大、小和尚各几丁？意思是：有$100$个和尚分$100$个馒头，正好分完，如果大和尚一人分$3$个，小和尚$3$人分一个，试问大、小和尚各几人？设大、小和尚各有$x,y$人，则可以列方程组$\begin{cases}\_\_\_\_\_\_,\\\_\_\_\_\_\_.\end{cases}$
6. 一个大正方形和四个全等的小正方形按图$1$、图$2$两种方式摆放，根据图中数据，则图$2$的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积为。
答案
1.D 2.C 3.C 4.D 5.$\begin{cases}x + y = 100\\3x + \frac{y}{3} = 100\end{cases}$ 6.24
解析
1. 甲比乙多7节：$x - y = 7$；甲给乙9节后，乙是甲的2倍：$y + 9 = 2(x - 9)$，即$2(x - 9) = y + 9$，选D。
2. 设胜$x$场，平$y$场，$\begin{cases}x + y = 15 - 4 = 11\\3x + y = 29\end{cases}$，解得$x = 9$，选C。
3. 两数和为68：$x + y = 68$；前四位数$100x + y$，后四位数$100y + x$，差990：$(100x + y)-(100y + x)=990$，选C。
4. 设凳腿高$h$，凳面厚$k$，$\begin{cases}h + k = 60\\h + 3k = 80\end{cases}$，解得$h = 50$，$k = 10$，11个高度：$50 + 10×10 = 150$，选D。
5. 人数：$x + y = 100$；馒头：$3x + \frac{y}{3} = 100$。
6. 设大正方形边长$a$，小正方形边长$b$，$\begin{cases}a + 2b = 6\\a - 2b = 4\end{cases}$，解得$a = 5$，$b = 0.5$，面积：$5^2 - 4×0.5^2 = 24$。
2. 设胜$x$场，平$y$场，$\begin{cases}x + y = 15 - 4 = 11\\3x + y = 29\end{cases}$，解得$x = 9$，选C。
3. 两数和为68：$x + y = 68$；前四位数$100x + y$，后四位数$100y + x$，差990：$(100x + y)-(100y + x)=990$，选C。
4. 设凳腿高$h$，凳面厚$k$，$\begin{cases}h + k = 60\\h + 3k = 80\end{cases}$，解得$h = 50$，$k = 10$，11个高度：$50 + 10×10 = 150$，选D。
5. 人数：$x + y = 100$；馒头：$3x + \frac{y}{3} = 100$。
6. 设大正方形边长$a$，小正方形边长$b$，$\begin{cases}a + 2b = 6\\a - 2b = 4\end{cases}$，解得$a = 5$，$b = 0.5$，面积：$5^2 - 4×0.5^2 = 24$。
