重难点1 应用二元一次方程组解决方案问题
【典例 1】某中学举行知识竞赛，计划购买$A,B$两种奖品奖励优秀学生。若买$2$件$A$奖品和$1$件$B$奖品要用$90$元，买$3$件$A$奖品和$2$件$B$奖品要$160$元。
(1)$A,B$两种奖品每件各多少元？
(2)如果学校准备用$400$元购买$A,B$两种奖品($400$元恰好用完，两种奖品都有)，则有几种购买方案？
解：(1)设$A$奖品每件$x$元，$B$奖品每件$y$元，
根据题意，得$\begin{cases}2x + y = 90,\\3x + 2y = 160,\end{cases}$解得$\begin{cases}x = 20,\\y = 50.\end{cases}$
答：$A$奖品每件$20$元，$B$奖品每件$50$元。
(2)购买$A$奖品$m$件，$B$奖品$n$件，根据题意，得$20m + 50n = 400$，
$\therefore n = 8 - \frac{2}{5}m$。
又$\because m,n$均为正整数，
$\therefore \begin{cases}m = 5,\\n = 6\end{cases}$或$\begin{cases}m = 10,\\n = 4\end{cases}$或$\begin{cases}m = 15,\\n = 2\end{cases}$，
$\therefore$共有$3$种购买方案，
方案$1$：购买$A$奖品$5$件，$B$奖品$6$件；
方案$2$：购买$A$奖品$10$件，$B$奖品$4$件；
方案$3$：购买$A$奖品$15$件，$B$奖品$2$件。

(1)A奖品每件20元，B奖品每件50元；(2)3种购买方案，分别为购买A奖品5件、B奖品6件；A奖品10件、B奖品4件；A奖品15件、B奖品2件。

(1)设A奖品每件$x$元，B奖品每件$y$元，根据题意，得$\begin{cases}2x + y = 90 \\ 3x + 2y = 160\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = 20 \\ y = 50\end{cases}$。
(2)设购买A奖品$m$件，B奖品$n$件，根据题意，得$20m + 50n = 400$，化简得$n = 8 - \frac{2}{5}m$。因为$m$，$n$均为正整数，所以$m$为5的倍数，解得$\begin{cases}m = 5 \\ n = 6\end{cases}$或$\begin{cases}m = 10 \\ n = 4\end{cases}$或$\begin{cases}m = 15 \\ n = 2\end{cases}$，共3种购买方案。

【对点训练】
1. 我国数学名著《九章算术》中记载了这样一个问题：今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两。问牛、羊各直金几何？译文：假设有$5$头牛、$2$只羊，值$19$两银子；$2$头牛、$5$只羊，值$16$两银子，问每头牛、每只羊分别值多少两银子？
根据以上译文，提出以下两个问题：
(1)求每头牛、每只羊各值多少两银子；
(2)若某商人准备用$11$两银子买牛和羊(要求既有牛也有羊，且银两需全部用完)，请你为商人列出所有可能的购买方案。

(1) 每头牛$3$两，每只羊$2$两；
(2) 两种方案：$\begin{cases} \mathrm{方案1: 牛1头，羊4只} \\ \mathrm{方案2: 牛3头，羊1只} \end{cases}$（（最终（2）的答案选项（如题目要求选择的话）按实际选择要求给出（此处按题目要求给出文字描述）））

(1) 设每头牛值$x$两银子，每只羊值$y$两银子。
根据题意列方程组：
$\begin{cases} 5x + 2y = 19 \\ 2x + 5y = 16 \end{cases}$
用加减消元法：
将第一式乘以$5$，第二式乘以$2$，得：
$\begin{cases} 25x + 10y = 95 \\ 4x + 10y = 32 \end{cases}$
两式相减得：$21x = 63$，解得$x = 3$。
将$x = 3$代入第一式，得$5 × 3 + 2y = 19$，解得$y = 2$。
所以每头牛值$3$两银子，每只羊值$2$两银子。
(2) 设买$a$头牛和$b$只羊，根据题意列方程：
$3a + 2b = 11$，且$a ＞ 0$，$b ＞ 0$，$a$和$b$为整数。
解方程：
$2b = 11 - 3a$，即$b = \frac{11 - 3a}{2}$。
要求$11 - 3a ＞ 0$且为偶数，即$a ＜ \frac{11}{3} \approx 3.67$，所以$a$的可能取值为$1$或$3$。
当$a = 1$时，$b = \frac{11 - 3 × 1}{2} = 4$；
当$a = 3$时，$b = \frac{11 - 3 × 3}{2} = 1$。
所以有两种购买方案：$a = 1, b = 4$或$a = 3, b = 1$。