【对点训练】
2. 运用加减法解方程组$\begin{cases}11x + 3z = 9,\\3x + 2y + z = 8,\\2x - 6y + 4z = 5\end{cases}$
较简单的方法是()
A. 先消去$x$，再解$\begin{cases}22y + 2z = 61,\\66y - 38z = - 37\end{cases}$
B. 先消去$y$，再解$\begin{cases}11x + 7z = 29,\\11x + 3z = 9\end{cases}$
C. 先消去$x$，再解$\begin{cases}2x - 6y = - 15,\\38x + 18y = 21\end{cases}$
D. 三个方程相加得$8x - 2y + 4z = 11$，再解

B

本题可根据三元一次方程组的加减法解法，分析各选项中消元的方法是否合理简便。
对于方程组$\begin{cases}11x + 3z = 9&(1)\\3x + 2y + z = 8&(2)\\2x - 6y + 4z = 5&(3)\end{cases}$
为了消去$y$，给方程$(2)$两边同时乘以$3$，可得$9x + 6y+3z = 24\ (4)$。
方程$(4)$与方程$(3)$相加，消去$y$可得：$(9x + 6y+3z)+(2x - 6y + 4z)=24 + 5$，即$11x+7z = 29\ (5)$。
方程$(5)$与方程$(1)$组成二元一次方程组$\begin{cases}11x + 7z = 29\\11x + 3z = 9\end{cases}$，这种方法计算量相对较小，较为简便。

基础巩固
1. 下列方程组不是三元一次方程组的是()
A. $\begin{cases}x + y = 1\\2y + z = - 2\\3y = 6\end{cases}$
B. $\begin{cases}x^{2} - 4 = 0\\y + 1 = x\\xy - z = - 3\end{cases}$
C. $\begin{cases}x = 2\\2y = - 3\\x - z = 1\end{cases}$
D. $\begin{cases}y - x = - 1\\x + z = 3\\2y - z = 0\end{cases}$
2. 已知三元一次方程组$\begin{cases}x + y = 3,\\y + z = 4,\\x + z = 5\end{cases}$
则$x + y + z =$()
A. $5$
B. $6$
C. $7$
D. $8$
3. 在$y = ax^{2} + bx + c$中，当$x = 1$时，$y = 0$；当$x = - 1$时，$y = 6$；当$x = 2$时，$y = 3$. 则当$x = - 2$时，$y =$()
A. $13$
B. $14$
C. $15$
D. $16$
4. 若$\begin{cases}x = 5,\\y = 10,\\z = - 15\end{cases}$
是三元一次方程组$\begin{cases}x + y + z = 0,\\2x - y + z = k,\\x + 2y - z = 40\end{cases}$
的解，则$k$的值是.
5. 已知方程组$\begin{cases}2x + 3y = n,\\3x + 5y = n + 2\end{cases}$
的解$x$，$y$的和为$12$，求$n$的值.

1.B 2.B 3.C 4.-15 5.14

1. 三元一次方程组需满足含三个未知数，每个方程为整式方程且未知数次数为1。选项B中$x^2 - 4 = 0$含二次项，不是三元一次方程组。
2. 三方程相加：$(x + y)+(y + z)+(x + z)=3 + 4 + 5$，即$2(x + y + z)=12$，得$x + y + z=6$。
3. 代入得$\begin{cases}a + b + c=0\\a - b + c=6\\4a + 2b + c=3\end{cases}$，解得$a=2,b=-3,c=1$，则$y=2x^2 - 3x + 1$，当$x=-2$时，$y=2×4 - 3×(-2)+1=15$。
4. 将$x=5,y=10,z=-15$代入$2x - y + z=k$，得$2×5 - 10 + (-15)=k$，$k=-15$。
5. 由$x + y=12$得$y=12 - x$，代入方程组得$\begin{cases}2x + 3(12 - x)=n\\3x + 5(12 - x)=n + 2\end{cases}$，解得$x=22$，$n=36 - 22=14$。

素养提升
6. (应用意识)某果品商店进行组合销售，甲种搭配：$2$千克$A$水果，$4$千克$B$水果；乙种搭配：$3$千克$A$水果，$8$千克$B$水果，$1$千克$C$水果；丙种搭配：$2$千克$A$水果，$6$千克$B$水果，$1$千克$C$水果. 已知$A$水果每千克$2$元，$B$水果每千克$1.2$元，$C$水果每千克$10$元. 某天该商店销售这三种搭配水果共$441.2$元. 其中$A$水果的销售额为$116$元，问$C$水果的销售额为多少元？
|水果搭配|A|B|C|
|----|----|----|----|
|甲|2|4|0|
|乙|3|8|1|
|丙|2|6|1|

150

设甲、乙、丙三种搭配分别销售x套、y套、z套。
A水果总销售额116元，单价2元，故A水果总重量为116÷2=58千克，可得方程：2x+3y+2z=58 ①。
总销售额441.2元，A销售额116元，故B、C销售额总和为441.2-116=325.2元。
B水果销售额：1.2×(4x+8y+6z)；C水果销售额：10(y+z)。
则1.2(4x+8y+6z)+10(y+z)=325.2 ②。
由①得2x=58-3y-2z，代入4x=2(58-3y-2z)=116-6y-4z。
则4x+8y+6z=116-6y-4z+8y+6z=116+2y+2z=116+2(y+z)。
设k=y+z，代入②：1.2(116+2k)+10k=325.2，即139.2+2.4k+10k=325.2，12.4k=186，k=15。
C水果销售额为10k=10×15=150元。