【例4】(2024·武汉)如图所示,线段$AB的长度为2$,延长$AB至C$,使得$BC= \frac{1}{2}AB$,反向延长$AB至D$,使得$BD = 2AD$,取$CD的中点E$,请你完成作图,并求点$A$,$E$之间的距离。

解:所作的图形如图所示，
　　　　　AE
　　由题意可知，BC=$\frac{1}{2}$AB=1.
　　因为BD=2AD,所以AD=AB=2.
　　所以CD=2+2+1=5.
　　因为点E是CD的中点，
　　所以DE=EC=$\frac{1}{2}$CD=2.5.
　　所以AE=DE−DA=2.5−2=0.5.

【分析】
解题时首先要根据题目要求准确完成作图，明确各点在直线上的排列顺序为D、A、B、C；第一步先根据AB的长度和BC与AB的比例关系求出BC的长度；第二步结合反向延长AB的条件和BD=2AD的关系，推导得出AD的长度；第三步计算出CD的总长度，再根据线段中点的性质求出DE的长度；最后利用线段的差的关系，用DE减去AD即可求出AE的长度。
【解析】
1. 作图：延长AB至点C，使BC=1；反向延长AB至点D，使BD=2AD；再取CD的中点E，标记点E即可。
2. 计算过程：
已知线段$AB=2$，
$\because BC=\frac{1}{2}AB$，$\therefore BC=\frac{1}{2}×2=1$，
$\because$反向延长AB至D，$\therefore$点D、A、B、C在同一直线上，顺序为D、A、B、C，可得$BD=AD+AB$，
又$\because BD=2AD$，
$\therefore AD+AB=2AD$，即$AD=AB=2$，
$\therefore CD=AD+AB+BC=2+2+1=5$，
$\because$E是CD的中点，
$\therefore DE=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×5=2.5$，
$\therefore AE=DE-AD=2.5-2=0.5$。
【答案】
点A、E之间的距离为$\boldsymbol{0.5}$。
【知识点】
线段的和差运算，线段中点的定义，线段的比例计算
【点评】
本题属于线段运算的常规题型，解题的核心是先确定各点的位置顺序，再结合题目给出的线段数量关系、中点性质逐步计算，做题时需注意区分延长和反向延长的方向，避免因点的位置判断错误导致计算失误。
【难度系数】
0.7

7. 如图所示,线段$AB = 8$,延长$AB到C$,若$AB = 2BC$,则$A$,$C$两点之间的距离为( )


A.$4$
B.$6$
C.$8$
D.$12$

D

【分析】
解题时先从已知条件入手，首先明确已知线段AB的长度，以及AB和BC的倍分关系，第一步先根据倍分关系求出BC的长度；再观察图形可知点B在线段AC上，所以A、C两点的距离就是AB与BC的长度和，最后代入数值计算即可。
【解析】
已知线段$AB=8$，且$AB=2BC$，因此可得：
$BC=AB÷2=8÷2=4$
由图可知，点B在A、C之间，因此$AC=AB+BC$，将数值代入得：
$AC=8+4=12$
即A、C两点之间的距离为12，故选D。
【答案】
D
【知识点】
线段的和差计算；线段倍分关系应用
【点评】
本题是基础的线段运算题型，解题关键是明确线段间的和差关系与倍分关系，代入数据计算即可，难度较低。
【难度系数】
0.9

8. 如图所示,线段$AC和线段BC$在同一直线上,如果$AC = 6cm$,$BC = 4cm$,求线段$AC和线段BC的中点M$,$N$之间的距离。

解:因为点M,N分别是AC,BC的中点，
　所以AM=CM=$\frac{1}{2}$AC=3cm,BN=CN=$\frac{1}{2}$BC=2cm.
　所以MN=MC+CN=5cm.

【分析】
要计算线段MN的长度，首先利用线段中点的性质，分别求出AC的中点M到点C的距离、BC的中点N到点C的距离，再观察图形可知点C在M、N之间，线段MN由MC和CN两段组成，将两段长度相加即可得到MN的总长度。
【解析】
解：因为点M、N分别是AC、BC的中点，
所以$CM=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×6=3\mathrm{cm}$，$CN=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×4=2\mathrm{cm}$，
因此$MN=CM+CN=3+2=5\mathrm{cm}$。
【答案】
$5\mathrm{cm}$
【知识点】
线段中点的定义；线段的和差运算
【点评】
本题属于线段运算的基础题，主要考查线段中点性质的应用，解题关键是结合图形明确所求线段的组成结构，代入对应数值计算即可，整体难度较低。
【难度系数】
0.9

1. 如图所示,从学校$A到书店B$有①,②,③,④四条路线,其中最短的路线是( )


A.①
B.②
C.③
D.④

B

【分析】
要找到从A到B的最短路线，首先回忆线段的相关性质：两点的所有连线中，线段是最短的。接下来观察4条路线的形状，判断哪条是连接A、B两点的线段，对应就是最短路线。
【解析】
根据线段的性质：两点之间，线段最短。
观察四条路线：路线①是折线，路线③、④是曲线，只有路线②是直接连接A、B两点的线段，因此最短的路线是②。
【答案】
B
【知识点】
两点之间线段最短
【点评】
本题考查线段性质的实际应用，属于基础题，结合图形准确识别线段即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9

2. 如图所示,若$CD = 4cm$,$DB = 7cm$,点$B是AC$的中点,则线段$AC$的长度为( )


A.$4cm$
B.$6cm$
C.$7cm$
D.$8cm$

B

【分析】
解题时先从已知的线段长度入手，首先根据线段DB和CD的长度，利用线段的差求出BC的长度，再结合“点B是AC的中点”这一条件，利用线段中点的性质，即可求出AC的总长度。
【解析】
第一步：计算线段BC的长度
已知$CD=4cm$，$DB=7cm$，观察线段可知$BC=DB-CD$，代入数值得：
$BC=7cm-4cm=3cm$
第二步：利用中点性质求AC的长度
因为点B是AC的中点，所以$AC=2BC$，将$BC=3cm$代入得：
$AC=2×3cm=6cm$
【答案】
B
【知识点】
线段的和差计算；线段中点的定义
【点评】
本题是线段运算的基础题型，解题的关键是理清图中各线段之间的和差关系，结合中点的性质逐步推导即可得到结果，考查对基础概念的掌握和简单的运算能力。
【难度系数】
0.8

3. (1)(易错题)如果线段$AB = 3cm$,$BC = 1cm$,那么$A$,$C$两点间的距离为( )
A. $4cm$
B. $2cm$
C. $4cm或2cm$
D. 以上答案都不对
(2)已知$A$,$B$,$C$三点在同一条直线上,如果线段$AB = 3cm$,$BC = 1cm$,那么$A$,$C$两点间的距离为( )
A. $4cm$
B. $2cm$
C. $4cm或2cm$
D. 不能确定
(3)(易错题)直线上有两点$A$,$B$,它们的距离为$10$,直线上另有一点$P$,且$P到A$,$B的距离之和为12$,则$AP$的长度为______。

(1)D　
(2)C　
(3)1或11

【分析】
(1) 解题时先明确题干条件：本题未说明A、B、C三点共线，两点间的距离指连接两点的线段长度，若三点不共线，AC长度无法直接通过AB、BC的长度计算，因此不能直接默认共线得到2cm或4cm的结论。
(2) 本题明确三点在同一直线上，因此需分类讨论点C的位置：①点C在线段AB上，此时AC为AB与BC的差；②点C在线段AB的延长线上，此时AC为AB与BC的和，两种情况分别计算即可。
(3) 首先判断点P的位置：若P在线段AB上，则PA+PB=AB=10，与题干PA+PB=12矛盾，因此P在线段AB外，分两种情况：①P在A点左侧；②P在B点右侧，分别设AP长度为x，根据线段和差关系列方程求解即可。
【解析】
(1) 题干仅给出AB=3cm、BC=1cm，未明确A、B、C三点共线，因此A、C两点的位置关系不确定，无法确定A、C两点间的距离，故选D。
(2) 已知A、B、C三点共线，分两种情况讨论：
① 当点C在线段AB上时，$AC=AB-BC=3-1=2\mathrm{cm}$；
② 当点C在线段AB的延长线上时，$AC=AB+BC=3+1=4\mathrm{cm}$。
因此A、C两点间的距离为4cm或2cm，故选C。
(3) $\because AB=10$，若点P在线段AB上，则$PA+PB=AB=10$，与题干$PA+PB=12$不符，$\therefore$点P在线段AB外，分两种情况：
① 当点P在点A左侧时，设$AP=x$，则$PB=AP+AB=x+10$，由$PA+PB=12$得：
$x+(x+10)=12$，解得$x=1$，即$AP=1$；
② 当点P在点B右侧时，设$AP=x$，则$PB=AP-AB=x-10$，由$PA+PB=12$得：
$x+(x-10)=12$，解得$x=11$，即$AP=11$。
综上，AP的长度为1或11。
【答案】
(1)D；(2)C；(3)1或11
【知识点】
两点间的距离；线段的和差运算；分类讨论思想
【点评】
这组题目是线段运算的典型易错题，解题的核心是注意题干是否明确三点共线的前提，未明确共线时两点距离无法确定；明确共线时要全面考虑点的位置，分点在线段上、线段外两种情况讨论，避免漏解或因默认位置错选答案。
【难度系数】
0.6

4. 如图所示,点$C$,$D在线段AB$上,且$AC = CD = BD$。
(1)$BC= $______$AB$(填数字)；
(2)比较大小：$BC$______$AD$(选填“$＞$”“$＜$”或“$=$”)。

(1)$\frac{2}{3}$　
(2)=

【分析】
解题时先根据已知$AC=CD=BD$，可将线段$AB$平均分成3份，$AC$、$CD$、$BD$各占1份。
(1)要求$BC$是$AB$的几分之几，先明确$BC$由$CD$和$BD$两段组成，共占2份，$AB$总共有3份，用$BC$的份数除以$AB$的总份数即可得到对应比例；
(2)比较$BC$和$AD$的大小，先算出$AD$由$AC$和$CD$两段组成，也占2份，与$BC$的份数相同，即可判断二者大小关系。
【解析】
设$AC=CD=BD=x$：
(1) 线段$AB$的总长度为$AC+CD+BD=x+x+x=3x$，
线段$BC$的长度为$CD+BD=x+x=2x$，
因此$\frac{BC}{AB}=\frac{2x}{3x}=\frac{2}{3}$，即$BC=\frac{2}{3}AB$。
(2) 线段$AD$的长度为$AC+CD=x+x=2x$，
已知$BC=2x$，因此$BC=AD$。
【答案】
(1)$\frac{2}{3}$；(2)$=$
【知识点】
线段的和差运算；线段比例计算；线段大小比较
【点评】
本题属于线段运算的基础题型，核心是利用已知的线段相等关系，通过份数法或设未知数的方法快速计算线段长度，解题思路清晰，掌握线段和差规则即可轻松作答。
【难度系数】
0.9

5. 如图所示,已知线段$a$,$b$,$c$,用圆规和直尺作线段,使它等于$2a + b - c$。

解:如图所示.
(1)作射线AF.
(2)在射线AF上顺次截取AB=BC=a,CD=b.
(3)在线段AD上截取DE=c.
　线段AE即为所求.
　　　　　　CE−c−→D2a

【分析】
要作出长度为$2a+b-c$的线段，需使用线段和差的尺规作图规则：作线段和时，在同一条射线上沿同一方向顺次截取对应长度的线段，总长度就是各线段的和；作线段差时，从较长线段的端点向线段内部截取等于较短线段的长度，剩余部分就是两线段的差。因此我们可以先构造出长度为$2a+b$的线段，再从中减去长度为$c$的线段，剩余部分即为所求。
【解析】
1. 用直尺作射线$AF$；
2. 用圆规量取线段$a$的长度，在射线$AF$上从点$A$出发顺次截取$AB=a$，$BC=a$，此时$AC=2a$；再用圆规量取线段$b$的长度，从点$C$出发沿射线$AF$方向截取$CD=b$，此时$AD=AC+CD=2a+b$；
3. 用圆规量取线段$c$的长度，从点$D$出发向点$A$方向在线段$AD$上截取$DE=c$，此时$AE=AD-DE=2a+b-c$。
【答案】
按上述步骤作出的线段$AE$即为所求。
【知识点】
尺规作线段、线段的和差运算
【点评】
本题是线段和差作图的基础题型，解题核心是掌握线段相加同向截取、相减反向截取的规则，作图时需保留作图痕迹，标注各端点以清晰说明作图过程。
【难度系数】
0.8