【例2】如图所示,直线$MN$表示一条河流,在河流两旁有两点$A$,$B$表示两块稻田,要在河岸边某一位置$D$开渠引水灌溉稻田,在河岸哪个位置开渠使水到两块地的距离之和最小？作图找到点$P$的位置。

解:如图所示，连接AB，与MN交点为P，点P即为所求.
　　　　　　　

【分析】
要找到河岸MN上到A、B两点距离之和最小的点P，可利用线段公理“两点之间，线段最短”分析：A、B两点分别在直线MN的两侧，若要使PA+PB的和最小，点P需要同时满足两个条件：一是在河岸MN上，二是在连接A、B的线段上。因此线段AB与直线MN的交点就是所求的点P，若选择MN上除该交点外的任意一点，该点到A、B的距离之和都会大于线段AB的长度，不满足距离和最小的要求。
【解析】
根据两点之间线段最短的性质：
1. 用直尺连接A、B两点，得到线段AB；
2. 线段AB与直线MN的交点记为P，点P同时在MN和AB上，此时PA+PB=AB，是距离和的最小值，因此点P即为所求的开渠位置。
【答案】
解:如图所示，连接AB，与MN交点为P，点P即为所求.

【知识点】
两点之间线段最短，线段作图
【点评】
这道题是线段性质的典型实际应用题，解题核心是熟练运用“两点之间线段最短”的公理，结合目标点需在直线上的要求找到交点即可，属于基础几何应用题型，掌握基础线段公理就能顺利解答。
【难度系数】
0.8

3. 如图所示,直线$MN$表示一条铁路,铁路两旁各有一点$A和B$表示两个工厂。要在铁路上建一货站$P$,使它到两厂距离之和最短,这个货站$P应建在AB与MN$的交点处,这种做法用几何知识解释应是( )


A.两点之间,线段最短
B.射线只有一个端点
C.两直线相交只有一个交点
D.两点确定一条直线

A

【分析】
我们的目标是在直线MN上找到点P，使P到A、B两点的距离之和最小。思考时可以先假设在MN上取任意一个不是AB与MN交点的点P'，比较$AP'+P'B$和$AP+PB$的大小关系：A、B是两个定点，根据几何基本事实，连接两点的所有线中线段最短，因此折线$AP'+P'B$的长度一定大于线段AB的长度，而AB正好等于$AP+PB$，因此交点处的P就是满足距离和最短的点，对应原理就是两点之间线段最短，再逐一排除其他无关选项即可。
【解析】
解：假设在直线MN上任取一个异于AB与MN交点P的点$P'$，连接$AP'$、$BP'$。
根据几何基本事实“两点之间，线段最短”可得：$AP' + BP' ＞ AB$，
又因为$AB = AP + PB$，因此$AP + PB ＜ AP' + BP'$，即点P处到两厂的距离之和最短。
对各选项分析如下：
B选项“射线只有一个端点”是射线的性质，和本题最短距离的原理无关；
C选项“两直线相交只有一个交点”描述的是直线相交的性质，不是该做法的依据；
D选项“两点确定一条直线”是确定直线位置的原理，与距离和最小无关。
因此本题选A。
【答案】
A
【知识点】
两点之间线段最短；最短路径选址
【点评】
本题属于基础的几何应用类题目，考查对常见几何基本事实的理解与实际应用能力，解题时要注意区分不同几何基本事实的适用场景，不要混淆“两点确定一条直线”和“两点之间线段最短”的适用场景。
【难度系数】
0.9

4. 如图所示,小明将三角形$ABC沿虚线剪去一个角得到四边形BCDE$,设三角形$ABC与四边形BCDE的周长分别为x和y$,则$x与y的大小关系是x$______$y$(选填“$＞$”“$＜$”或“$=$”)。

＞

【分析】
解题时先分别明确三角形和四边形的周长组成，先去掉两个周长中的公共部分BC，将问题转化为比较AB+AC与BE+CD+DE的大小；再将AB拆分为AE+EB，AC拆分为AD+DC，进一步转化为比较AE+AD与DE的大小；最后结合“两点之间，线段最短”的性质，即可得出二者的大小关系。
【解析】
解：由题意得，三角形ABC的周长$ x = AB + BC + AC $，
四边形BCDE的周长$ y = BE + BC + CD + DE $。
∵ $ AB = AE + EB $，$ AC = AD + DC $，
∴ $ x = AE + EB + BC + AD + DC = (BE + BC + CD) + (AE + AD) $。
根据“两点之间，线段最短”，可得$ AE + AD ＞ DE $，
∴ $ (BE + BC + CD) + (AE + AD) ＞ (BE + BC + CD) + DE $，
即$ x ＞ y $。
【答案】
＞
【知识点】
两点之间线段最短；周长的计算；线段的和差运算
【点评】
本题考查线段基本性质的实际应用，解题的核心是通过拆分周长，将复杂的周长比较转化为两条线段和与第三条线段的大小比较，结合线段的基本性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7

【例3】如图所示,$C$,$D是线段AB$上两点,已知$AC:CD:DB = 1:2:3$,$M$,$N分别为AC$,$DB$的中点,且$AB = 18cm$,求线段$MN$的长。

解:设AC,CD,DB的长分别为x cm,2x cm,3x cm,
　　则x+2x+3x=18,解得x=3.
　所以AC=3cm,CD=6cm,DB=9cm.
　　因为M,N分别为AC，DB的中点，
　所以MC=$\frac{3}{2}$cm,DN=$\frac{9}{2}$cm.
　所以MN=MC+CD+DN=12(cm).
　所以线段MN的长为12cm.

【分析】
遇到给出线段长度比例和总长度的问题，可先通过设参数的方法表示各段线段的长度，利用总长度列方程求出参数的值，得到各线段的具体长度；再结合线段中点的性质，求出中点分线段得到的半段长度，最后观察所求线段MN由MC、CD、DN三段组成，将三段长度相加即可得到MN的长度。
【解析】
解：设AC、CD、DB的长分别为$x\ \mathrm{cm}$、$2x\ \mathrm{cm}$、$3x\ \mathrm{cm}$，
根据线段AB的总长度可得：$x + 2x + 3x = 18$，
合并同类项得$6x=18$，解得$x=3$。
因此$AC=3\ \mathrm{cm}$，$CD=2×3=6\ \mathrm{cm}$，$DB=3×3=9\ \mathrm{cm}$。
因为M、N分别为AC、DB的中点，根据线段中点的定义：
$MC=\frac{1}{2}AC=\frac{3}{2}\ \mathrm{cm}$，$DN=\frac{1}{2}DB=\frac{9}{2}\ \mathrm{cm}$。
由线段的和差关系可知$MN=MC+CD+DN$，代入数值计算：
$MN=\frac{3}{2}+6+\frac{9}{2}=12\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$12\ \mathrm{cm}$
【知识点】
1. 线段的和差计算
2. 线段中点的定义
3. 比例线段的应用
【点评】
本题是线段运算的常规题型，解题核心是用设参数的方法解决比例类线段问题，结合中点性质拆分线段，解题时要注意准确识别所求线段的组成部分，避免漏加或错加线段长度。
【难度系数】
0.8

设变量法求解线段的和差倍分问题是常用的方法之一。解决此类问题时,可以设一个或多个变量来表示未知数,然后根据给定的条件列方程求解。

答案略

【分析】
遇到线段和差倍分的计算问题时，若题目给出的是线段间的比例、倍数关系，未直接给出所需线段的具体长度，可按以下思路用设变量法求解：第一步确定基准线段，通常选长度最小、或作为倍分参照的线段作为设未知数的对象；第二步用含未知数的代数式表示出所有相关线段的长度；第三步结合题目给出的线段总长、线段相等等等量关系列出一元一次方程；第四步解方程求出未知数的值，再代入代数式计算得到目标线段的长度即可。
【解析】
我们以一道典型题为例演示解题过程：
例：已知线段AC长18cm，点B在线段AC上，满足AB:BC=2:1，点D是BC的中点，求AD的长度。
解：
∵ AB:BC=2:1，
∴ 设BC=x cm，则AB=2x cm
∵ 点B在AC上，
∴ AC=AB+BC
代入AC=18cm，列方程得：2x + x = 18
解得x=6，即BC=6cm，AB=12cm
∵ D是BC中点，
∴ BD=½BC=3cm
∴ AD=AB+BD=12+3=15cm
【答案】
略
【知识点】
线段和差运算、线段倍分运算、一元一次方程应用
【点评】
设变量法能将复杂的几何线段关系转化为简单的代数运算，有效降低解题的思维难度，是解决线段计算类问题的常用高效方法，解题的核心是找准合适的基准线段设元，准确梳理线段间的等量关系。
【难度系数】
0.7

5. 点$C在线段AB$上,下列条件中不能确定点$C是线段AB$中点的是( )

A.$AC = BC$
B.$AC + BC = AB$
C.$AB = 2AC$
D.$BC= \frac{1}{2}AB$

B

【分析】
解题时首先回忆线段中点的定义：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做这条线段的中点。结合题目给出的“点C在线段AB上”这一前提，逐个验证每个选项是否能推出AC=BC，即可找到不能确定点C是线段AB中点的选项。
【解析】
线段中点的定义为：若点C是线段AB的中点，则满足$AC=BC=\frac{1}{2}AB$，即$AB=2AC=2BC$。结合点C在线段AB上的前提分析各选项：
A. 若$AC=BC$，直接符合线段中点的定义，可确定C是AB中点，不符合题意；
B. 由于点C在线段AB上，因此无论C在AB上的任意位置，都满足$AC+BC=AB$，无法推出$AC=BC$，不能确定C是AB中点，符合题意；
C. 若$AB=2AC$，结合$AC+BC=AB$，可得$AC+BC=2AC$，即$BC=AC$，可确定C是AB中点，不符合题意；
D. 若$BC=\frac{1}{2}AB$，即$AB=2BC$，结合$AC+BC=AB$，可得$AC+BC=2BC$，即$AC=BC$，可确定C是AB中点，不符合题意。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
线段中点的定义，线段的和差运算
【点评】
本题重点考查线段中点的判定，解题时要注意结合题目给出的“点在线段上”的前提条件分析，避免混淆线段和差的通用性质和中点的特殊性质。
【难度系数】
0.8

6. 如图所示,$AD= \frac{1}{2}DB$,$E是BC$的中点,$BE= \frac{1}{5}AC = 3cm$,求线段$DE$的长。

解:因为E是BC的中点,BE=$\frac{1}{5}$AC=3cm,
　所以BC=2BE=6cm,
　AC=3×5=15(cm).
　所以AB=AC−BC=15−6=9(cm).
　因为AD=$\frac{1}{2}$DB,所以AB=$\frac{1}{2}$DB+DB=9cm.
　所以DB=6cm,
　所以DE=DB+BE=6+3=9(cm).

【分析】
解题时先从已知条件入手：首先利用E是BC中点、BE与AC的数量关系，先求出BC和AC的长度，再通过AC与BC的差得到AB的长度；接下来根据AD和DB的倍分关系，将AB用DB表示求出DB的长度；最后观察线段DE的组成，DE由DB和BE两段构成，将两段长度相加即可得到DE的长。
【解析】
因为E是BC的中点，$BE=\frac{1}{5}AC=3\mathrm{cm}$，
所以$BC=2BE=6\mathrm{cm}$，$AC=3×5=15\mathrm{cm}$。
所以$AB=AC-BC=15-6=9\mathrm{cm}$。
因为$AD=\frac{1}{2}DB$，所以$AB=\frac{1}{2}DB+DB=9\mathrm{cm}$，
解得$DB=6\mathrm{cm}$，
所以$DE=DB+BE=6+3=9\mathrm{cm}$。
【答案】
$DE$的长为$9\mathrm{cm}$
【知识点】
线段中点的性质；线段的和差计算；线段的倍分关系
【点评】
本题是线段计算的基础题型，解题核心是梳理清楚各线段之间的数量关系，结合中点性质和已知的倍分条件逐步推导未知线段的长度，计算过程中注意不要混淆各线段的对应关系。
【难度系数】
0.8