6. (2024·深圳)如图所示,点$M$,$C在线段AB$上,点$M是线段AB$的中点,$AC = 2BC$。若$MC = 2$,求$AB$的长。

解:设BC=x,则AC=2BC=2x.
　所以AB=AC+BC=2x+x=3x,MB=MC+BC=2+x.因为点M为AB的中点，所以AM=MB=$\frac{1}{2}$AB.
　所以2+x=$\frac{1}{2}$×3x,解得x=4.所以AB=3x=12.

【分析】
解题时先梳理题目给出的线段数量关系：已知AC和BC的倍分关系、M是AB的中点、MC的长度，目标是求AB的长。我们可以采用设未知数列方程的思路：先设较短的线段BC长度为x，根据AC=2BC表示出AC的长度，进而得到AB的总长度；再结合线段中点的性质，MB是AB的一半，同时MB也可以用MC+BC表示，据此建立等量关系列方程，求解出x后即可算出AB的长度。
【解析】
解：设$BC=x$，则$AC=2BC=2x$。
所以$AB=AC+BC=2x+x=3x$，$MB=MC+BC=2+x$。
因为点M为AB的中点，所以$MB=\frac{1}{2}AB$。
代入线段长度可得：$2+x=\frac{1}{2}×3x$
移项计算得：$0.5x=2$，解得$x=4$。
所以$AB=3x=3×4=12$。
【答案】
$\boldsymbol{12}$
【知识点】
线段中点性质、线段和差运算、一元一次方程应用
【点评】
本题是线段运算的常规题型，结合了线段的倍分关系与中点性质，通过设未知数列方程的方法即可求解，解题核心是找准不同方式表示的同一条线段的等量关系，考查数形结合思想与方程思想的运用。
【难度系数】
0.7

7. 如图所示,已知$A$,$B$,$C$,$D为4$个居民小区,现要在四边形$ABCD$内建一个购物中心,试问：应把购物中心建在何处,才能使$4$个居民小区到购物中心的距离之和最小？说明理由。

解:如图所示，连接AC,BD交于点E,则购物中心应建在线段AC，BD的交点E处.
　　　　　　　　　
　理由:两点之间，线段最短.

【分析】
要找到使4个居民小区到购物中心的距离之和最小的点，本质是求四边形内到四个顶点的线段长度和最小的点。首先回忆线段的性质：两点之间，线段最短。到A、C两点距离和最小的点一定在线段AC上，到B、D两点距离和最小的点一定在线段BD上，同时满足这两个条件的点就是两条线段的交点，该点即可让总距离和最小。
【解析】
1. 选址：连接线段AC、BD，两条线段的交点E就是购物中心的建造位置。
2. 理由：任取四边形内不同于E的一点P，连接PA、PB、PC、PD。根据“两点之间，线段最短”，可得PA+PC≥AC，PB+PD≥BD，因此PA+PB+PC+PD≥AC+BD。只有当P同时在AC和BD上，即P与E重合时，总距离和等于AC+BD，为最小值。
【答案】
如图所示，连接AC,BD交于点E,则购物中心应建在线段AC，BD的交点E处.
理由:两点之间，线段最短.
【知识点】
1. 两点之间线段最短
2. 线段和最值求解
【点评】
本题是线段性质的生活化应用，解题的关键是将实际选址问题转化为线段和最小的数学问题，直接运用线段的基本性质即可快速得到结论，能够锻炼学生将数学知识应用到实际场景的能力。
【难度系数】
0.8

8. 如图所示,$C$,$D是线段AB$上的两点,且$D是线段AC$的中点,若$AB = 11$,$DB = 8$,则$CB$的长为( )


A.$3$
B.$4$
C.$5$
D.$6$

C

【分析】
解题时可按照从已知到未知的顺序推导：首先观察线段AB由AD和DB组成，已知AB、DB的长度，可先求出AD的长度；再结合D是AC中点的性质，得到DC与AD长度相等；最后观察DB由DC和CB组成，已知DB和DC的长度，即可求出CB的长度。
【解析】
解：
∵ AB = 11，DB = 8，且AD + DB = AB
∴ AD = AB - DB = 11 - 8 = 3
∵ D是线段AC的中点
∴ DC = AD = 3
又
∵ DC + CB = DB
∴ CB = DB - DC = 8 - 3 = 5
【答案】
C
【知识点】
线段的和差运算，线段中点的定义
【点评】
本题属于线段运算的基础题型，解题的核心是理清各线段之间的位置关系和数量关系，结合已知条件逐步推导即可，主要考查学生对线段基本运算规则的掌握程度。
【难度系数】
0.8

9. (新定义)$C是线段AB$($5 ＜ AB ＜ 10$)上的一点,若点$C将AB$分得的两条线段中,有一条线段的长与$AB的长的和是10$,则称点$C是线段AB$的“圆满分割点”。已知$MN = 8$,$P$,$Q分别是线段MN$,$PN$的“圆满分割点”,则$QN$的长是______。

2或4　解析:因为P是线段MN的“圆满分割点”,MN=8，所以PM=2,PN=6或PM=6,PN=2.
　因为Q是线段PN的“圆满分割点”，
　所以PN=6.
　所以PQ=4,QN=2或PQ=2,QN=4.
　综上所述，QN的长是2或4.

【分析】
解题时首先要准确理解“圆满分割点”的定义：线段上一点将线段分为两条子线段，若其中一条子线段的长度与原线段长度之和为10，则该点为原线段的圆满分割点。第一步先处理点P是MN的圆满分割点的情况：已知MN=8，根据定义可算出满足“和为10”的子线段长度为10-8=2，因此P分MN得到的两条线段中有一条长为2，分两种情况讨论：①PM=2，此时PN=6；②PN=2，此时PM=6。第二步处理点Q是PN的圆满分割点的情况：先验证两种PN的长度是否符合要求，若PN=2，那么根据定义需要子线段长度为10-2=8，但是PN总长仅为2，不可能分出长为8的线段，因此排除PN=2的情况，确定PN=6。接下来对PN=6的情况分类：满足“和为10”的子线段长度为10-6=4，因此Q分PN得到的两条线段中有一条长为4，再分两种情况计算QN的长度即可。
【解析】
解：
∵P是线段MN的“圆满分割点”，MN=8
根据“圆满分割点”的定义，存在一条分线段的长度与MN的和为10
∴该分线段长度为$10-8=2$，即PM=2或PN=2
分两种情况：
①当PM=2时，$PN=MN-PM=8-2=6$
②当PN=2时，$PM=MN-PN=8-2=6$
又
∵Q是线段PN的“圆满分割点”
若PN=2，则需要存在分线段长度为$10-2=8$，而$PN=2＜8$，不可能，故舍去PN=2的情况，仅PN=6符合要求
当PN=6时，根据定义得对应分线段长度为$10-6=4$，即PQ=4或QN=4
当PQ=4时，$QN=PN-PQ=6-4=2$
当QN=4时，符合要求
综上，QN的长为2或4。
【答案】
2或4
【知识点】
新定义理解，线段和差计算，分类讨论
【点评】
本题结合新定义考查线段的和差运算，解题核心是准确理解新定义的规则，分类讨论时要注意结合线段的实际长度排除不符合题意的情况，避免出现多解或漏解的错误。
【难度系数】
0.6

10. (2025·合肥)如图所示,已知线段$AB = a$,点$C$,$D在线段AB$上,$CD = b$,点$E是AC$的中点,点$F是BD$的中点。
(1)若$a = 18cm$,$b = 4cm$,当$AC = 6cm$时,求线段$EF$的长度。
(2)当线段$CD在线段AB$上运动时,试判断线段$EF$的长度是否发生变化,如果不变,请求出线段$EF$的长度；如果变化,请说明理由。

(1)因为AB=18cm,CD=4cm,AC=6cm,
　　所以BD=AB−AC−CD=18−6−4=8(cm).
　　因为点E是AC的中点，点F是BD的中点，
　　所以EC=$\frac{1}{2}$AC=3cm,DF=$\frac{1}{2}$BD=4cm.
　　所以EF=EC+CD+DF=3+4+4=11(cm).
(2)线段EF的长度不发生变化.
　　理由如下:
　　因为点E是AC的中点，点F是BD的中点，
　　所以AE=$\frac{1}{2}$AC,BF=$\frac{1}{2}$BD.
　　所以EF=AB−AE−BF
　　=AB−$\frac{1}{2}$AC−$\frac{1}{2}$BD
　　=AB−$\frac{1}{2}$(AC+BD)
　　=AB−$\frac{1}{2}$(AB−CD)
　　=$\frac{1}{2}$(AB+CD)
　=$\frac{1}{2}$(a+b).
　所以线段EF的长度不发生变化，长度为$\frac{1}{2}$(a+b).

【分析】
(1) 求解第一问时，先根据线段AB、AC、CD的长度求出BD的长度；再结合中点的性质分别求出EC、DF的长度；最后根据EF由EC、CD、DF三段组成，相加即可得到EF的长度。
(2) 求解第二问时，先利用中点性质将AE、BF分别用AC、BD表示，再把EF转化为AB减去AE、BF的形式，然后将AC+BD替换为AB-CD，通过代数整理判断EF的表达式是否为定值，若仅与已知的AB、CD长度有关则说明长度不变，同时求出定值。
【解析】
(1) 已知$AB=18\mathrm{cm}$，$CD=4\mathrm{cm}$，$AC=6\mathrm{cm}$，
所以$BD=AB-AC-CD=18-6-4=8(\mathrm{cm})$。
因为点$E$是$AC$的中点，点$F$是$BD$的中点，
所以$EC=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×6=3\mathrm{cm}$，$DF=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}×8=4\mathrm{cm}$。
所以$EF=EC+CD+DF=3+4+4=11(\mathrm{cm})$。
(2) 线段$EF$的长度不发生变化，理由如下：
因为点$E$是$AC$的中点，点$F$是$BD$的中点，
所以$AE=\frac{1}{2}AC$，$BF=\frac{1}{2}BD$。
所以$EF=AB-AE-BF$
$=AB-\frac{1}{2}AC-\frac{1}{2}BD$
$=AB-\frac{1}{2}(AC+BD)$
又因为$AC+BD=AB-CD$，代入得：
$EF=AB-\frac{1}{2}(AB-CD)$
$=\frac{1}{2}(AB+CD)=\frac{1}{2}(a+b)$
因此线段$EF$的长度不随$CD$的运动发生变化。
【答案】
(1) $11\mathrm{cm}$；
(2) 线段$EF$的长度不变，为$\frac{1}{2}(a+b)$。
【知识点】
线段中点的定义；线段的和差运算；整体代入思想
【点评】
本题第一问是基础的线段运算，只需按顺序计算各段长度即可求解；第二问为动态线段定值问题，解题核心是将变化的量用定长线段替换，通过代数推导得到定值，侧重考查逻辑推导能力和整体思想的应用。
【难度系数】
0.7

11. 如图所示,数轴上$A$,$B两点之间的距离为18$,有一根木棒$MN$在数轴上移动,当$N移动到与A$,$B$中一个端点重合时,点$M所对应的数为3$,且点$M始终在点N$的左侧,当点$N移动到线段AB$的中点时,点$M$所对应的数为______。

12或−6　解析:设MN=x.
　①当点N与点A重合时，点M对应的数为3,则点N对应的数为x+3，
　因为AB=18,
　所以当N移动到线段AB的中点时，点N对应的数为x+3+9=x+12.
　所以点M对应的数为x+12−x=12;
　②当点N与点B重合时，点M对应的数为3,则点N对应的数为x+3，
　因为AB=18,
　所以当N移动到线段AB的中点时，点N对应的数为x+3−9=x−6.
　所以点M对应的数为x−6−x=−6.
　所以点M对应的数为12或−6.

【分析】
解题时首先明确木棒MN的长度固定，且M始终在N左侧，因此点N对应的数始终比点M大MN的长度。由于N移动到与A、B其中一个端点重合时存在两种情况，需分类讨论：①N与点A重合；②N与点B重合。再结合AB长度为18，可知AB中点距离A、B均为9个单位长度，根据N的位置变化，结合MN长度不变即可求出对应M的数值。
【解析】
设木棒MN的长度为$x$。
① 当点N与点A重合时，此时点M对应的数为3，因为M在N左侧，所以点N（即点A）对应的数为$3+x$。
已知$AB=18$，因此AB的中点距离点A的距离为$18÷2=9$，当N移动到AB中点时，点N对应的数为$(3+x)+9=x+12$，此时点M对应的数为$(x+12)-x=12$。
② 当点N与点B重合时，此时点M对应的数为3，同理点N（即点B）对应的数为$3+x$。
AB的中点距离点B的距离为9，当N移动到AB中点时，点N对应的数为$(3+x)-9=x-6$，此时点M对应的数为$(x-6)-x=-6$。
【答案】
$12$或$-6$
【知识点】
数轴的应用；线段中点计算；分类讨论
【点评】
本题解题的核心是抓住木棒长度不变的特点，需要考虑N与A、B两个端点重合的两种情况，避免因漏解导致答案不全，同时通过设参数表示MN长度，计算时参数会自然消去，可降低解题难度。
【难度系数】
0.6