例 1 计算：
（1）$\dfrac{a}{a^{2}-1}-\dfrac{1}{a^{2}-1}$； （2）$\dfrac{2}{x + 2}-\dfrac{x - 6}{x^{2}-4}$.

解：（1）$\dfrac{a}{a^{2}-1}-\dfrac{1}{a^{2}-1}$
$=\dfrac{a - 1}{a^{2}-1}$
$=\dfrac{a - 1}{(a + 1)(a - 1)}$
$=\dfrac{1}{a + 1}$
（2）$\dfrac{2}{x + 2}-\dfrac{x - 6}{x^{2}-4}$
$=\dfrac{2}{x + 2}-\dfrac{x - 6}{(x + 2)(x - 2)}$
$=\dfrac{2(x - 2)}{(x + 2)(x - 2)}-\dfrac{x - 6}{(x + 2)(x - 2)}$
$=\dfrac{2(x - 2)-(x - 6)}{(x + 2)(x - 2)}$
$=\dfrac{2x - 4 - x + 6}{(x + 2)(x - 2)}$
$=\dfrac{x + 2}{(x + 2)(x - 2)}$
$=\dfrac{1}{x - 2}$

例 2 下面是某同学计算$\dfrac{a^{2}}{a - 1}-a - 1$的解题过程：
解：$\dfrac{a^{2}}{a - 1}-a - 1=\dfrac{a^{2}}{a - 1}-\dfrac{(a - 1)^{2}}{a - 1}$ ①

$=\dfrac{a^{2}-(a - 1)^{2}}{a - 1}$ ②
$=\dfrac{a^{2}-a^{2}+2a - 1}{a - 1}$ ③
$=\dfrac{2a - 1}{a - 1}$ ④
上述解题过程从第步开始出现错误，写出正确的解题过程.

解：$\dfrac{a^{2}}{a - 1}-a - 1$
$=\dfrac{a^{2}}{a - 1}-\dfrac{(a + 1)(a - 1)}{a - 1}$
$=\dfrac{a^{2}-(a^{2}-1)}{a - 1}$
$=\dfrac{a^{2}-a^{2}+1}{a - 1}$
$=\dfrac{1}{a - 1}$

一、选择题
1. 计算$\dfrac{2}{x - 1}-\dfrac{2}{x^{2}-1}$的结果等于()
A. $x$ B. $2x$ C. $\dfrac{2}{x + 1}$ D. $\dfrac{2x}{x^{2}-1}$

解：
$\dfrac{2}{x - 1}-\dfrac{2}{x^{2}-1}$
$=\dfrac{2(x+1)}{(x-1)(x+1)}-\dfrac{2}{(x-1)(x+1)}$
$=\dfrac{2(x+1)-2}{(x-1)(x+1)}$
$=\dfrac{2x+2-2}{x^{2}-1}$
$=\dfrac{2x}{x^{2}-1}$
故选D。

2. 计算$\dfrac{4m}{m - 3}-\dfrac{12}{m - 3}$的结果是()

A.$4$
B.$4m - 12$
C.$m - 3$
D.$\dfrac{4m - 12}{m - 3}$

A

根据同分母分式的加减法则，分母不变，分子相减，原式=$\dfrac{4m - 12}{m - 3}$；提取分子的公因式4，得$\dfrac{4(m - 3)}{m - 3}$；由于分式有意义时$m-3≠0$，约分后结果为4。

二、填空题
3. 化简$\dfrac{x}{x - 1}+\dfrac{1}{1 - x}$的结果为.

解：
$\dfrac{x}{x - 1}+\dfrac{1}{1 - x}$
$=\dfrac{x}{x - 1}-\dfrac{1}{x - 1}$
$=\dfrac{x - 1}{x - 1}$
$=1$