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4. $\dfrac{1}{m}-\dfrac{1}{n}=4$，则$\dfrac{mn}{m - n}$的值为.
答案
$-\dfrac{1}{4}$
解析
1. 对已知等式$\dfrac{1}{m}-\dfrac{1}{n}=4$通分，得$\dfrac{n - m}{mn}=4$；
2. 变形得$n - m = 4mn$，即$m - n = -4mn$；
3. 将$m - n = -4mn$代入$\dfrac{mn}{m - n}$，因$m,n≠0$，$mn≠0$，约分后得$\dfrac{mn}{-4mn}=-\dfrac{1}{4}$。
2. 变形得$n - m = 4mn$，即$m - n = -4mn$；
3. 将$m - n = -4mn$代入$\dfrac{mn}{m - n}$，因$m,n≠0$，$mn≠0$，约分后得$\dfrac{mn}{-4mn}=-\dfrac{1}{4}$。
三、解答题
5. 计算：
（1）$\dfrac{1}{a}+\dfrac{3}{2a}$； （2）$\dfrac{x + y}{xy}-\dfrac{x - y}{xy}$；
（3）$\dfrac{x^{2}}{x - 3}+\dfrac{9}{3 - x}$； （4）$\dfrac{4}{a^{2}-4}-\dfrac{1}{a - 2}$；
（5）$\dfrac{x}{x^{2}-4}+\dfrac{1}{4 - 2x}$； （6）$\dfrac{x^{2}}{x + 1}+1 - x$.
5. 计算：
（1）$\dfrac{1}{a}+\dfrac{3}{2a}$； （2）$\dfrac{x + y}{xy}-\dfrac{x - y}{xy}$；
（3）$\dfrac{x^{2}}{x - 3}+\dfrac{9}{3 - x}$； （4）$\dfrac{4}{a^{2}-4}-\dfrac{1}{a - 2}$；
（5）$\dfrac{x}{x^{2}-4}+\dfrac{1}{4 - 2x}$； （6）$\dfrac{x^{2}}{x + 1}+1 - x$.
答案
解：
（1）$\dfrac{1}{a}+\dfrac{3}{2a}=\dfrac{2}{2a}+\dfrac{3}{2a}=\dfrac{2+3}{2a}=\dfrac{5}{2a}$；
（2）$\dfrac{x + y}{xy}-\dfrac{x - y}{xy}=\dfrac{(x+y)-(x-y)}{xy}=\dfrac{x+y-x+y}{xy}=\dfrac{2y}{xy}=\dfrac{2}{x}$；
（3）$\dfrac{x^{2}}{x - 3}+\dfrac{9}{3 - x}=\dfrac{x^{2}}{x - 3}-\dfrac{9}{x - 3}=\dfrac{x^{2}-9}{x - 3}=\dfrac{(x+3)(x-3)}{x - 3}=x+3$；
（4）$\dfrac{4}{a^{2}-4}-\dfrac{1}{a - 2}=\dfrac{4}{(a+2)(a-2)}-\dfrac{a+2}{(a+2)(a-2)}=\dfrac{4-(a+2)}{(a+2)(a-2)}=\dfrac{2-a}{(a+2)(a-2)}=-\dfrac{1}{a+2}$；
（5）$\dfrac{x}{x^{2}-4}+\dfrac{1}{4 - 2x}=\dfrac{x}{(x+2)(x-2)}-\dfrac{1}{2(x-2)}=\dfrac{2x}{2(x+2)(x-2)}-\dfrac{x+2}{2(x+2)(x-2)}=\dfrac{2x-(x+2)}{2(x+2)(x-2)}=\dfrac{x-2}{2(x+2)(x-2)}=\dfrac{1}{2x+4}$；
（6）$\dfrac{x^{2}}{x + 1}+1 - x=\dfrac{x^{2}}{x + 1}+\dfrac{(1-x)(x+1)}{x+1}=\dfrac{x^{2}+1-x^{2}}{x+1}=\dfrac{1}{x+1}$。
（1）$\dfrac{1}{a}+\dfrac{3}{2a}=\dfrac{2}{2a}+\dfrac{3}{2a}=\dfrac{2+3}{2a}=\dfrac{5}{2a}$；
（2）$\dfrac{x + y}{xy}-\dfrac{x - y}{xy}=\dfrac{(x+y)-(x-y)}{xy}=\dfrac{x+y-x+y}{xy}=\dfrac{2y}{xy}=\dfrac{2}{x}$；
（3）$\dfrac{x^{2}}{x - 3}+\dfrac{9}{3 - x}=\dfrac{x^{2}}{x - 3}-\dfrac{9}{x - 3}=\dfrac{x^{2}-9}{x - 3}=\dfrac{(x+3)(x-3)}{x - 3}=x+3$；
（4）$\dfrac{4}{a^{2}-4}-\dfrac{1}{a - 2}=\dfrac{4}{(a+2)(a-2)}-\dfrac{a+2}{(a+2)(a-2)}=\dfrac{4-(a+2)}{(a+2)(a-2)}=\dfrac{2-a}{(a+2)(a-2)}=-\dfrac{1}{a+2}$；
（5）$\dfrac{x}{x^{2}-4}+\dfrac{1}{4 - 2x}=\dfrac{x}{(x+2)(x-2)}-\dfrac{1}{2(x-2)}=\dfrac{2x}{2(x+2)(x-2)}-\dfrac{x+2}{2(x+2)(x-2)}=\dfrac{2x-(x+2)}{2(x+2)(x-2)}=\dfrac{x-2}{2(x+2)(x-2)}=\dfrac{1}{2x+4}$；
（6）$\dfrac{x^{2}}{x + 1}+1 - x=\dfrac{x^{2}}{x + 1}+\dfrac{(1-x)(x+1)}{x+1}=\dfrac{x^{2}+1-x^{2}}{x+1}=\dfrac{1}{x+1}$。
6. 已知$\dfrac{3x - 4}{(x - 1)(x - 2)}=\dfrac{A}{x - 1}+\dfrac{B}{x - 2}$，求实数$A$和$B$的值.
答案
解：
$\dfrac{A}{x - 1}+\dfrac{B}{x - 2}=\dfrac{A(x - 2)+B(x - 1)}{(x - 1)(x - 2)}$
由题意得：$3x - 4 = A(x - 2) + B(x - 1)$
展开并整理右边：$3x - 4 = (A + B)x + (-2A - B)$
根据对应系数相等，得方程组：
$\begin{cases}A + B = 3\\-2A - B = -4\end{cases}$
解方程组：
将两式相加，得$-A = -1$，解得$A = 1$
把$A = 1$代入$A + B = 3$，得$1 + B = 3$，解得$B = 2$
综上，$A=1$，$B=2$。
$\dfrac{A}{x - 1}+\dfrac{B}{x - 2}=\dfrac{A(x - 2)+B(x - 1)}{(x - 1)(x - 2)}$
由题意得：$3x - 4 = A(x - 2) + B(x - 1)$
展开并整理右边：$3x - 4 = (A + B)x + (-2A - B)$
根据对应系数相等，得方程组：
$\begin{cases}A + B = 3\\-2A - B = -4\end{cases}$
解方程组：
将两式相加，得$-A = -1$，解得$A = 1$
把$A = 1$代入$A + B = 3$，得$1 + B = 3$，解得$B = 2$
综上，$A=1$，$B=2$。
7. 小明在计算$\dfrac{2a}{a^{2}-b^{2}}-\dfrac{1}{M}$时把整式$M$抄错了，得到的化简结果是$\dfrac{1}{a - b}$，他在核对时发现所抄写的$M$比原来大$2b$.
（1）求整式$M$；
（2）计算正确的结果.
（1）求整式$M$；
（2）计算正确的结果.
答案
解：（1）设小明抄错的整式为$M'$，则$M' = M + 2b$。
根据题意得：$\dfrac{2a}{a^{2}-b^{2}} - \dfrac{1}{M'} = \dfrac{1}{a - b}$
因为$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$，所以：
$\dfrac{1}{M'} = \dfrac{2a}{(a - b)(a + b)} - \dfrac{1}{a - b}$
$= \dfrac{2a}{(a - b)(a + b)} - \dfrac{a + b}{(a - b)(a + b)}$
$= \dfrac{2a - (a + b)}{(a - b)(a + b)}$
$= \dfrac{a - b}{(a - b)(a + b)}$
$= \dfrac{1}{a + b}$
所以$M' = a + b$。
又因为$M' = M + 2b$，所以$M = M' - 2b = (a + b) - 2b = a - b$。
（2）将$M = a - b$代入原式，得：
$\dfrac{2a}{a^{2}-b^{2}} - \dfrac{1}{a - b}$
$= \dfrac{2a}{(a - b)(a + b)} - \dfrac{a + b}{(a - b)(a + b)}$
$= \dfrac{2a - (a + b)}{(a - b)(a + b)}$
$= \dfrac{a - b}{(a - b)(a + b)}$
$= \dfrac{1}{a + b}$
根据题意得：$\dfrac{2a}{a^{2}-b^{2}} - \dfrac{1}{M'} = \dfrac{1}{a - b}$
因为$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$，所以：
$\dfrac{1}{M'} = \dfrac{2a}{(a - b)(a + b)} - \dfrac{1}{a - b}$
$= \dfrac{2a}{(a - b)(a + b)} - \dfrac{a + b}{(a - b)(a + b)}$
$= \dfrac{2a - (a + b)}{(a - b)(a + b)}$
$= \dfrac{a - b}{(a - b)(a + b)}$
$= \dfrac{1}{a + b}$
所以$M' = a + b$。
又因为$M' = M + 2b$，所以$M = M' - 2b = (a + b) - 2b = a - b$。
（2）将$M = a - b$代入原式，得：
$\dfrac{2a}{a^{2}-b^{2}} - \dfrac{1}{a - b}$
$= \dfrac{2a}{(a - b)(a + b)} - \dfrac{a + b}{(a - b)(a + b)}$
$= \dfrac{2a - (a + b)}{(a - b)(a + b)}$
$= \dfrac{a - b}{(a - b)(a + b)}$
$= \dfrac{1}{a + b}$
