8. 已知关于$x$的方程$\frac{2ax + 3}{a - x}=\frac{3}{4}$的解为$x = 1$，则常数$a$的值为()

A.$1$
B.$3$
C.$-1$
D.$-3$

D

将$x=1$代入方程$\frac{2ax + 3}{a - x}=\frac{3}{4}$，得：
$\frac{2a+3}{a-1}=\frac{3}{4}$
交叉相乘得：$4(2a+3)=3(a-1)$
展开计算：$8a+12=3a-3$
移项合并同类项：$5a=-15$
解得：$a=-3$
检验：当$a=-3$时，分母$a-x=-3-1=-4≠0$，符合要求。

9. 已知方程$\frac{x + a}{x - 2}=2$的解为正数，则$a$的取值范围是.

$a＞-4$且$a≠-2$

1. 解分式方程：给方程$\frac{x + a}{x - 2}=2$两边同乘$(x-2)$（$x≠2$），得$x+a=2(x-2)$；
2. 化简求解：去括号得$x+a=2x-4$，移项合并同类项得$x=a+4$；
3. 根据条件列不等式：因为方程的解为正数，所以$a+4＞0$，解得$a＞-4$；又因为原方程分母不能为0，即$x≠2$，所以$a+4≠2$，解得$a≠-2$；
4. 综上，$a$的取值范围是$a＞-4$且$a≠-2$。

10. 用去分母的方法解分式方程$\frac{x}{x - 3}-2=\frac{m^{2}}{x - 3}$产生增根，$m$的值为.

$\pm\sqrt{3}$

1. 分式方程的增根满足分母为0，即$x-3=0$，解得增根$x=3$；
2. 给原方程两边同乘$(x-3)$去分母，得到整式方程：$x - 2(x - 3) = m^2$；
3. 将$x=3$代入整式方程，得$3 - 2×(3 - 3) = m^2$，即$m^2=3$，解得$m=\pm\sqrt{3}$。

11. 若$\frac{1}{x}+x = 3$，则$\frac{1}{x^{2}}+x^{2}=$，$\frac{x^{2}}{x^{4}+x^{2}+1}=$.

7，$\frac{1}{8}$

1. 计算$\frac{1}{x^2}+x^2$：
利用完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，将$a=x$，$b=\frac{1}{x}$代入得：$(x+\frac{1}{x})^2=x^2+\frac{1}{x^2}+2$。
已知$x+\frac{1}{x}=3$，两边平方得$3^2=x^2+\frac{1}{x^2}+2$，即$9=x^2+\frac{1}{x^2}+2$，解得$x^2+\frac{1}{x^2}=7$。
2. 计算$\frac{x^2}{x^4+x^2+1}$：
先求该分式的倒数$\frac{x^4+x^2+1}{x^2}$，拆分得$\frac{x^4}{x^2}+\frac{x^2}{x^2}+\frac{1}{x^2}=x^2+1+\frac{1}{x^2}$。
将$x^2+\frac{1}{x^2}=7$代入，得$7+1=8$，因此原分式为$\frac{1}{8}$。

12. 已知$\frac{2x - 1}{(x - 3)(x + 5)}=\frac{A}{x - 3}+\frac{B}{x + 5}$，则$A=$，$B=$.

$A=\frac{5}{8}$，$B=\frac{11}{8}$

1. 对右边分式通分：$\frac{A}{x-3}+\frac{B}{x+5}=\frac{A(x+5)+B(x-3)}{(x-3)(x+5)}$
2. 等式左右分母相同，故分子相等：$2x - 1 = A(x+5) + B(x-3)$
3. 展开并整理右边：$2x - 1 = (A+B)x + (5A - 3B)$
4. 对比同类项系数，得方程组：$\begin{cases}A+B=2\\5A-3B=-1\end{cases}$
5. 解方程组：由$A=2-B$代入第二个方程，得$5(2-B)-3B=-1$，解得$B=\frac{11}{8}$，再代入得$A=2-\frac{11}{8}=\frac{5}{8}$。

13. 解方程：$\frac{x - 14}{x^{2}-4}+\frac{x}{2 - x}=1-\frac{2x}{x + 2}$.

解：原方程可化为
$\frac{x - 14}{(x + 2)(x - 2)} - \frac{x}{x - 2} = 1 - \frac{2x}{x + 2}$
方程两边同乘最简公分母$(x + 2)(x - 2)$（$x ≠ \pm 2$），得：
$x - 14 - x(x + 2) = (x + 2)(x - 2) - 2x(x - 2)$
展开并整理：
$x - 14 - x^2 - 2x = x^2 - 4 - 2x^2 + 4x$
$-x^2 - x - 14 = -x^2 + 4x - 4$
移项合并同类项：
$-x - 4x = -4 + 14$
$-5x = 10$
$x = -2$
检验：当$x = -2$时，$(x + 2)(x - 2) = 0$，因此$x = -2$是增根。
故原分式方程无解。

14. 为了提高产品的附加值，某公司计划将研发生产的$1200$件新产品进行精加工后再投放市场.现有甲、乙两个工厂都具备加工能力，公司派出相关人员分别到这两间工厂了解情况，获得如下信息：
信息一：甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用$10$天；
信息二：乙工厂每天加工的数量是甲工厂每天加工数量的$1.5$倍.
根据以上信息，求甲、乙两个工厂每天分别能加工多少件新产品？

解：设甲工厂每天能加工$ x $件新产品，则乙工厂每天能加工$ 1.5x $件新产品。
根据题意，得：
$\frac{1200}{x} - \frac{1200}{1.5x} = 10$
解方程：
$\frac{1200}{x} - \frac{800}{x} = 10$
$\frac{400}{x} = 10$
解得$ x = 40 $
经检验，$ x = 40 $是原方程的解，且符合题意。
则$ 1.5x = 1.5×40 = 60 $
答：甲工厂每天能加工40件新产品，乙工厂每天能加工60件新产品。