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2. 用简便方法计算下面各题。
$(\frac{1}{4}-\frac{1}{12}+\frac{1}{8})×24$ $\frac{9}{7}÷\frac{32}{7}-\frac{2}{7}×\frac{7}{32}$
$(\frac{1}{4}-\frac{1}{12}+\frac{1}{8})×24$ $\frac{9}{7}÷\frac{32}{7}-\frac{2}{7}×\frac{7}{32}$
答案
$(\frac{1}{4}-\frac{1}{12}+\frac{1}{8})×24$
$=\frac{1}{4}×24 - \frac{1}{12}×24 + \frac{1}{8}×24$
$=6 - 2 + 3$
$=7$
$\frac{9}{7}÷\frac{32}{7}-\frac{2}{7}×\frac{7}{32}$
$=\frac{9}{7}×\frac{7}{32} - \frac{2}{7}×\frac{7}{32}$
$=(\frac{9}{7} - \frac{2}{7})×\frac{7}{32}$
$=1×\frac{7}{32}$
$=\frac{7}{32}$
$=\frac{1}{4}×24 - \frac{1}{12}×24 + \frac{1}{8}×24$
$=6 - 2 + 3$
$=7$
$\frac{9}{7}÷\frac{32}{7}-\frac{2}{7}×\frac{7}{32}$
$=\frac{9}{7}×\frac{7}{32} - \frac{2}{7}×\frac{7}{32}$
$=(\frac{9}{7} - \frac{2}{7})×\frac{7}{32}$
$=1×\frac{7}{32}$
$=\frac{7}{32}$
解析
【分析】
第一题：观察到算式是几个分数的和差与24相乘，24是括号内各分数分母4、12、8的公倍数，根据乘法分配律，将括号内的每个分数分别与24相乘，再进行加减运算，可避免通分，简化计算。
第二题：首先根据分数除法法则，将除法转化为乘法，即除以一个分数等于乘它的倒数，转化后发现两个乘法算式中有相同的因数$\frac{7}{32}$，再利用乘法分配律的逆运算，提取相同因数，先计算括号内的减法，再计算乘法，达到简便计算的目的。
【解析】
第一题：
$(\frac{1}{4}-\frac{1}{12}+\frac{1}{8})×24$
$=\frac{1}{4}×24 - \frac{1}{12}×24 + \frac{1}{8}×24$
$=6 - 2 + 3$
$=7$
第二题：
$\frac{9}{7}÷\frac{32}{7}-\frac{2}{7}×\frac{7}{32}$
$=\frac{9}{7}×\frac{7}{32} - \frac{2}{7}×\frac{7}{32}$
$=(\frac{9}{7} - \frac{2}{7})×\frac{7}{32}$
$=1×\frac{7}{32}$
$=\frac{7}{32}$
【答案】
7；$\frac{7}{32}$
【知识点】
乘法分配律、分数除法法则
【点评】
这两道题均考查分数的简便运算，核心是观察算式中数字和运算的特点，灵活运用乘法分配律（及逆运算）和分数除法法则，将复杂运算转化为简单的整数、分数加减乘运算，有效简化计算过程，提升计算效率与准确性。
【难度系数】
0.8
第一题：观察到算式是几个分数的和差与24相乘，24是括号内各分数分母4、12、8的公倍数，根据乘法分配律，将括号内的每个分数分别与24相乘，再进行加减运算，可避免通分，简化计算。
第二题：首先根据分数除法法则，将除法转化为乘法，即除以一个分数等于乘它的倒数，转化后发现两个乘法算式中有相同的因数$\frac{7}{32}$，再利用乘法分配律的逆运算，提取相同因数，先计算括号内的减法，再计算乘法，达到简便计算的目的。
【解析】
第一题：
$(\frac{1}{4}-\frac{1}{12}+\frac{1}{8})×24$
$=\frac{1}{4}×24 - \frac{1}{12}×24 + \frac{1}{8}×24$
$=6 - 2 + 3$
$=7$
第二题：
$\frac{9}{7}÷\frac{32}{7}-\frac{2}{7}×\frac{7}{32}$
$=\frac{9}{7}×\frac{7}{32} - \frac{2}{7}×\frac{7}{32}$
$=(\frac{9}{7} - \frac{2}{7})×\frac{7}{32}$
$=1×\frac{7}{32}$
$=\frac{7}{32}$
【答案】
7；$\frac{7}{32}$
【知识点】
乘法分配律、分数除法法则
【点评】
这两道题均考查分数的简便运算，核心是观察算式中数字和运算的特点，灵活运用乘法分配律（及逆运算）和分数除法法则，将复杂运算转化为简单的整数、分数加减乘运算，有效简化计算过程，提升计算效率与准确性。
【难度系数】
0.8
3. 解方程。
$\frac{4}{9}:\frac{1}{6}=x:15$ $8+0.3x=11$
$\frac{4}{9}:\frac{1}{6}=x:15$ $8+0.3x=11$
答案
解：$\frac{4}{9}:\frac{1}{6}=x:15$
$\frac{1}{6}x=\frac{4}{9}×15$
$\frac{1}{6}x=\frac{20}{3}$
$x=\frac{20}{3}×6$
$x=40$
解：$8+0.3x=11$
$0.3x=11-8$
$0.3x=3$
$x=3÷0.3$
$x=10$
$\frac{1}{6}x=\frac{4}{9}×15$
$\frac{1}{6}x=\frac{20}{3}$
$x=\frac{20}{3}×6$
$x=40$
解：$8+0.3x=11$
$0.3x=11-8$
$0.3x=3$
$x=3÷0.3$
$x=10$
解析
【分析】
对于第一个比例方程$\frac{4}{9}:\frac{1}{6}=x:15$，根据比例的基本性质“两内项之积等于两外项之积”，将比例式转化为乘法方程，再利用等式的性质求解x；对于第二个一元一次方程$8+0.3x=11$，先通过等式的性质把常数项移到等式右边，再将x的系数化为1，即可求出x的值。
【解析】
1. 解比例方程$\frac{4}{9}:\frac{1}{6}=x:15$：
根据比例的基本性质，内项积等于外项积，可得：
$\frac{1}{6}x=\frac{4}{9}×15$
计算右边的乘积：
$\frac{1}{6}x=\frac{20}{3}$
等式两边同时乘6，解得：
$x=\frac{20}{3}×6$
$x=40$
2. 解一元一次方程$8+0.3x=11$：
等式两边同时减去8，移项得：
$0.3x=11-8$
计算右边的差：
$0.3x=3$
等式两边同时除以0.3，解得：
$x=3÷0.3$
$x=10$
【答案】
$x=40$；$x=10$
【知识点】
比例的基本性质，解一元一次方程
【点评】
本题分别考查比例方程和一元一次方程的解法，解题关键是熟练运用比例的基本性质将比例式转化为普通方程，以及掌握一元一次方程移项、系数化为1的求解步骤，计算过程中需注意分数和小数运算的准确性。
【难度系数】
0.8
对于第一个比例方程$\frac{4}{9}:\frac{1}{6}=x:15$，根据比例的基本性质“两内项之积等于两外项之积”，将比例式转化为乘法方程，再利用等式的性质求解x；对于第二个一元一次方程$8+0.3x=11$，先通过等式的性质把常数项移到等式右边，再将x的系数化为1，即可求出x的值。
【解析】
1. 解比例方程$\frac{4}{9}:\frac{1}{6}=x:15$：
根据比例的基本性质，内项积等于外项积，可得：
$\frac{1}{6}x=\frac{4}{9}×15$
计算右边的乘积：
$\frac{1}{6}x=\frac{20}{3}$
等式两边同时乘6，解得：
$x=\frac{20}{3}×6$
$x=40$
2. 解一元一次方程$8+0.3x=11$：
等式两边同时减去8，移项得：
$0.3x=11-8$
计算右边的差：
$0.3x=3$
等式两边同时除以0.3，解得：
$x=3÷0.3$
$x=10$
【答案】
$x=40$；$x=10$
【知识点】
比例的基本性质，解一元一次方程
【点评】
本题分别考查比例方程和一元一次方程的解法，解题关键是熟练运用比例的基本性质将比例式转化为普通方程，以及掌握一元一次方程移项、系数化为1的求解步骤，计算过程中需注意分数和小数运算的准确性。
【难度系数】
0.8
五、下图是一种机器零件，它是在一个正方体上挖去一个半圆柱形成的，求它的体积。(单位：cm)
答案
20×20×20=8000(cm³)
3.14×(10÷2)²×20÷2=785(cm³)
8000-785=7215(cm³)
答：它的体积是7215cm³。
3.14×(10÷2)²×20÷2=785(cm³)
8000-785=7215(cm³)
答：它的体积是7215cm³。
解析
【分析】
这道题是求组合体的体积，该零件由正方体挖去一个半圆柱形成，解题思路为：用正方体的体积减去挖去的半圆柱的体积，得到零件体积。首先明确正方体棱长为20cm，半圆柱的底面直径是10cm，高与正方体棱长相等为20cm；先根据正方体体积公式算出正方体体积，再根据半圆柱体积公式（圆柱体积的一半）算出半圆柱体积，最后用前者减去后者即可得到零件体积。
【解析】
1. 计算正方体的体积：
根据正方体体积公式 $ V_{正方体}=a^3 $（$ a $ 为棱长），代入数据可得：
$ 20×20×20 = 8000 \, \mathrm{cm}^3 $
2. 计算半圆柱的体积：
先求出半圆柱底面半径 $ r = 10÷2 = 5 \, \mathrm{cm} $，半圆柱体积公式为 $ V_{半圆柱}=\frac{1}{2}πr^2h $（$ h $ 为高），代入数据可得：
$ \frac{1}{2}×3.14×5^2×20 = \frac{1}{2}×3.14×25×20 = 785 \, \mathrm{cm}^3 $
3. 计算零件的体积：
零件体积 = 正方体体积 - 半圆柱体积，即：
$ 8000 - 785 = 7215 \, \mathrm{cm}^3 $
答：它的体积是7215cm³。
【答案】
7215cm³
【知识点】
正方体体积计算；半圆柱体积计算；组合体体积计算
【点评】
本题考查组合体体积的求解，核心思路是“整体减部分”，需要准确识别组合体的构成，熟练掌握正方体和圆柱的体积公式，同时注意半圆柱是圆柱体积的一半，计算时不要遗漏除以2的步骤。
【难度系数】
0.6
这道题是求组合体的体积，该零件由正方体挖去一个半圆柱形成，解题思路为：用正方体的体积减去挖去的半圆柱的体积，得到零件体积。首先明确正方体棱长为20cm，半圆柱的底面直径是10cm，高与正方体棱长相等为20cm；先根据正方体体积公式算出正方体体积，再根据半圆柱体积公式（圆柱体积的一半）算出半圆柱体积，最后用前者减去后者即可得到零件体积。
【解析】
1. 计算正方体的体积：
根据正方体体积公式 $ V_{正方体}=a^3 $（$ a $ 为棱长），代入数据可得：
$ 20×20×20 = 8000 \, \mathrm{cm}^3 $
2. 计算半圆柱的体积：
先求出半圆柱底面半径 $ r = 10÷2 = 5 \, \mathrm{cm} $，半圆柱体积公式为 $ V_{半圆柱}=\frac{1}{2}πr^2h $（$ h $ 为高），代入数据可得：
$ \frac{1}{2}×3.14×5^2×20 = \frac{1}{2}×3.14×25×20 = 785 \, \mathrm{cm}^3 $
3. 计算零件的体积：
零件体积 = 正方体体积 - 半圆柱体积，即：
$ 8000 - 785 = 7215 \, \mathrm{cm}^3 $
答：它的体积是7215cm³。
【答案】
7215cm³
【知识点】
正方体体积计算；半圆柱体积计算；组合体体积计算
【点评】
本题考查组合体体积的求解，核心思路是“整体减部分”，需要准确识别组合体的构成，熟练掌握正方体和圆柱的体积公式，同时注意半圆柱是圆柱体积的一半，计算时不要遗漏除以2的步骤。
【难度系数】
0.6
1. 江村小学买来6把椅子和2张办公桌，总价812元。每把椅子52元，每张办公桌多少元？
答案
方法一：算术法
52×6=312（元）
812-312=500（元）
500÷2=250（元）
答：每张办公桌250元。
方法二：方程法
解：设每张办公桌x元。
2x + 52×6 = 812
2x + 312 = 812
2x = 812 - 312
2x = 500
x = 250
答：每张办公桌250元。
52×6=312（元）
812-312=500（元）
500÷2=250（元）
答：每张办公桌250元。
方法二：方程法
解：设每张办公桌x元。
2x + 52×6 = 812
2x + 312 = 812
2x = 812 - 312
2x = 500
x = 250
答：每张办公桌250元。
解析
【分析】
这道题可从两种思路解题：
1. 算术法：先根据“单价×数量=总价”算出6把椅子的总费用，再用总花费减去椅子的总价得到2张办公桌的总价，最后除以2就能求出每张办公桌的单价。
2. 方程法：依据“6把椅子的总价 + 2张办公桌的总价 = 总花费”这一等量关系，设每张办公桌单价为x元，列出方程后求解即可。
【解析】
方法一：算术法
1. 计算6把椅子的总价：$52×6=312$（元）
2. 计算2张办公桌的总价：$812-312=500$（元）
3. 计算每张办公桌的单价：$500÷2=250$（元）
答：每张办公桌250元。
方法二：方程法
解：设每张办公桌$x$元。
$2x + 52×6 = 812$
$2x + 312 = 812$
$2x = 812 - 312$
$2x = 500$
$x = 250$
答：每张办公桌250元。
【答案】
每张办公桌250元
【知识点】
整数复合应用题、列方程解应用题、单价数量总价关系
【点评】
本题考查对单价、数量、总价三者关系的掌握，提供了算术法和方程法两种解题路径，算术法从已知到未知逐步推导，方程法借助等量关系直观求解，可帮助学生拓展解题思维，提升实际问题解决能力。
【难度系数】
0.8
这道题可从两种思路解题：
1. 算术法：先根据“单价×数量=总价”算出6把椅子的总费用，再用总花费减去椅子的总价得到2张办公桌的总价，最后除以2就能求出每张办公桌的单价。
2. 方程法：依据“6把椅子的总价 + 2张办公桌的总价 = 总花费”这一等量关系，设每张办公桌单价为x元，列出方程后求解即可。
【解析】
方法一：算术法
1. 计算6把椅子的总价：$52×6=312$（元）
2. 计算2张办公桌的总价：$812-312=500$（元）
3. 计算每张办公桌的单价：$500÷2=250$（元）
答：每张办公桌250元。
方法二：方程法
解：设每张办公桌$x$元。
$2x + 52×6 = 812$
$2x + 312 = 812$
$2x = 812 - 312$
$2x = 500$
$x = 250$
答：每张办公桌250元。
【答案】
每张办公桌250元
【知识点】
整数复合应用题、列方程解应用题、单价数量总价关系
【点评】
本题考查对单价、数量、总价三者关系的掌握，提供了算术法和方程法两种解题路径，算术法从已知到未知逐步推导，方程法借助等量关系直观求解，可帮助学生拓展解题思维，提升实际问题解决能力。
【难度系数】
0.8
2. 亮亮在购物网站买一套书花了105元，比在书店买便宜$\frac{1}{8}$，在书店买这套书需要多少元？
答案
方法一（算术法）：
105 ÷ (1 - $\frac{1}{8}$)
= 105 ÷ $\frac{7}{8}$
= 120（元）
答：在书店买这套书需要120元。
或者方法二（方程法）：
解：设在书店买这套书需要x元。
x - $\frac{1}{8}$x = 105
$\frac{7}{8}$x = 105
x = 105 × $\frac{8}{7}$
x = 120
答：在书店买这套书需要120元。
105 ÷ (1 - $\frac{1}{8}$)
= 105 ÷ $\frac{7}{8}$
= 120（元）
答：在书店买这套书需要120元。
或者方法二（方程法）：
解：设在书店买这套书需要x元。
x - $\frac{1}{8}$x = 105
$\frac{7}{8}$x = 105
x = 105 × $\frac{8}{7}$
x = 120
答：在书店买这套书需要120元。
解析
【分析】
首先要找准单位“1”，题目中“比在书店买便宜$\frac{1}{8}$”，是把书店的售价看作单位“1”，网购的价格是书店售价的$(1-\frac{1}{8})$。已知网购价格为105元，求单位“1”的量，有两种思路：
1. 算术法：根据“对应量÷对应分率=单位‘1’的量”，用网购价格除以它占书店售价的分率，即可求出书店的售价。
2. 方程法：设书店售价为x元，根据“书店售价-便宜的价格=网购价格”列方程，便宜的价格是书店售价的$\frac{1}{8}$，即$\frac{1}{8}$x，进而解方程求出x的值。
【解析】
方法一（算术法）：
$105 ÷ (1 - \frac{1}{8})$
$= 105 ÷ \frac{7}{8}$
$= 105 × \frac{8}{7}$
$= 120$（元）
答：在书店买这套书需要120元。
方法二（方程法）：
解：设在书店买这套书需要x元。
$x - \frac{1}{8}x = 105$
$\frac{7}{8}x = 105$
$x = 105 × \frac{8}{7}$
$x = 120$
答：在书店买这套书需要120元。
【答案】
120元
【知识点】
分数除法应用、列方程解分数应用题
【点评】
本题的核心是找准单位“1”，明确网购价格与书店售价的数量关系。算术法直接利用分数除法的意义求解，思路简洁；方程法通过等量关系直观呈现数量关系，更易理解，两种方法都能有效解决问题，是分数应用题中基础且典型的题型。
【难度系数】
0.7
首先要找准单位“1”，题目中“比在书店买便宜$\frac{1}{8}$”，是把书店的售价看作单位“1”，网购的价格是书店售价的$(1-\frac{1}{8})$。已知网购价格为105元，求单位“1”的量，有两种思路：
1. 算术法：根据“对应量÷对应分率=单位‘1’的量”，用网购价格除以它占书店售价的分率，即可求出书店的售价。
2. 方程法：设书店售价为x元，根据“书店售价-便宜的价格=网购价格”列方程，便宜的价格是书店售价的$\frac{1}{8}$，即$\frac{1}{8}$x，进而解方程求出x的值。
【解析】
方法一（算术法）：
$105 ÷ (1 - \frac{1}{8})$
$= 105 ÷ \frac{7}{8}$
$= 105 × \frac{8}{7}$
$= 120$（元）
答：在书店买这套书需要120元。
方法二（方程法）：
解：设在书店买这套书需要x元。
$x - \frac{1}{8}x = 105$
$\frac{7}{8}x = 105$
$x = 105 × \frac{8}{7}$
$x = 120$
答：在书店买这套书需要120元。
【答案】
120元
【知识点】
分数除法应用、列方程解分数应用题
【点评】
本题的核心是找准单位“1”，明确网购价格与书店售价的数量关系。算术法直接利用分数除法的意义求解，思路简洁；方程法通过等量关系直观呈现数量关系，更易理解，两种方法都能有效解决问题，是分数应用题中基础且典型的题型。
【难度系数】
0.7
3. 一个圆柱与一个圆锥的体积相同，圆柱的底面半径是2cm，是圆锥底面半径的$\frac{1}{3}$，圆柱的高是9cm，圆锥的高是多少厘米？
答案
2÷$\frac{1}{3}$=6(厘米)
3.14×2²×9
=3.14×4×9
=113.04(立方厘米)
113.04×3÷(3.14×6²)
=339.12÷(3.14×36)
=339.12÷113.04
=3(厘米)
答：圆锥的高是3厘米。
3.14×2²×9
=3.14×4×9
=113.04(立方厘米)
113.04×3÷(3.14×6²)
=339.12÷(3.14×36)
=339.12÷113.04
=3(厘米)
答：圆锥的高是3厘米。
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以分步骤思考：
1. 首先根据“圆柱底面半径是圆锥底面半径的$\frac{1}{3}$”，已知圆柱半径求圆锥半径，由于圆锥底面半径是单位“1”，求单位“1”用除法计算。
2. 接着计算圆柱的体积，因为圆柱和圆锥体积相同，所以圆柱体积就是圆锥的体积，利用圆柱体积公式$V=π r^2h$进行计算。
3. 最后根据圆锥的体积公式$V=\frac{1}{3}π r^2h$，变形得到$h=3V÷(π r^2)$，用圆锥的体积乘3，再除以圆锥的底面积，即可求出圆锥的高。
【解析】
1. 计算圆锥的底面半径：
$2÷\frac{1}{3}=6$（厘米）
2. 计算圆柱的体积（即圆锥的体积）：
$3.14×2^2×9$
$=3.14×4×9$
$=113.04$（立方厘米）
3. 计算圆锥的高：
$113.04×3÷(3.14×6^2)$
$=339.12÷(3.14×36)$
$=339.12÷113.04$
$=3$（厘米）
答：圆锥的高是3厘米。
【答案】
3厘米
【知识点】
圆柱体积公式、圆锥体积公式、已知分率求单位“1”
【点评】
本题主要考查圆柱与圆锥体积公式的灵活运用，解题关键是先通过分数除法求出圆锥的底面半径，再利用圆柱与圆锥体积相等的关系，结合圆锥体积公式的变形求出圆锥的高，需要注意圆锥体积计算中“$\frac{1}{3}$”的逆用。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，我们可以分步骤思考：
1. 首先根据“圆柱底面半径是圆锥底面半径的$\frac{1}{3}$”，已知圆柱半径求圆锥半径，由于圆锥底面半径是单位“1”，求单位“1”用除法计算。
2. 接着计算圆柱的体积，因为圆柱和圆锥体积相同，所以圆柱体积就是圆锥的体积，利用圆柱体积公式$V=π r^2h$进行计算。
3. 最后根据圆锥的体积公式$V=\frac{1}{3}π r^2h$，变形得到$h=3V÷(π r^2)$，用圆锥的体积乘3，再除以圆锥的底面积，即可求出圆锥的高。
【解析】
1. 计算圆锥的底面半径：
$2÷\frac{1}{3}=6$（厘米）
2. 计算圆柱的体积（即圆锥的体积）：
$3.14×2^2×9$
$=3.14×4×9$
$=113.04$（立方厘米）
3. 计算圆锥的高：
$113.04×3÷(3.14×6^2)$
$=339.12÷(3.14×36)$
$=339.12÷113.04$
$=3$（厘米）
答：圆锥的高是3厘米。
【答案】
3厘米
【知识点】
圆柱体积公式、圆锥体积公式、已知分率求单位“1”
【点评】
本题主要考查圆柱与圆锥体积公式的灵活运用，解题关键是先通过分数除法求出圆锥的底面半径，再利用圆柱与圆锥体积相等的关系，结合圆锥体积公式的变形求出圆锥的高，需要注意圆锥体积计算中“$\frac{1}{3}$”的逆用。
【难度系数】
0.6
