20. (本小题 10 分)在车站开始检票时,有 $ a ( a ＞ 0 ) $ 名旅客在候车室排队等候检票进站,检票开始后,仍有旅客继续前来排队检票进站.设旅客按固定的速度增加,检票口检票的速度也是固定的.若开放一个检票口,则需 30 min 才可将排队等候检票的旅客全部检票完毕;若同时开放两个检票口,则只需 10 min 便可将排队等候检票的旅客全部检票完毕.如果要在 5 min 内将排队等候检票的旅客全部检票完毕,以便后来到站的旅客能随到随检,至少要同时开放几个检票口?

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设每分钟新增旅客人数为 $ x $ 人，每个检票口每分钟检票 $ y $ 人。
开放一个检票口时，30分钟内检票总人数为原有排队人数加上新增人数：
$ a + 30x = 30y \quad \mathrm{(1)} $
开放两个检票口时，10分钟内检票总人数为：
$ a + 10x = 20y \quad \mathrm{(2)} $
由(1)-(2)得：
$ 20x = 10y \quad ⇒ \quad y = 2x $
将 $ y = 2x $ 代入(2)：
$ a + 10x = 40x \quad ⇒ \quad a = 30x $
设需要开放 $ n $ 个检票口，5分钟内检票总人数为：
$ a + 5x ≤ 5n · y \quad ⇒ \quad 30x + 5x ≤ 5n · 2x $
化简得：
$ 35x ≤ 10nx \quad ⇒ \quad n ≥ 3.5 $
由于检票口数必须为整数，故至少需要开放 4 个检票口。