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3. 计算：
(1) $ 6a·(a - 3b) $；
(2) $ -\frac{1}{2}ab·(-\frac{2}{3}ab^{2}-4ab) $；
(3) $ x·(3x^{2}-5x + 1)+3x^{2}·(x - 2) $；
(4) $ [ab·(1 - a)-2a·(b-\frac{1}{2})]·2ab^{2} $.
(1) $ 6a·(a - 3b) $；
(2) $ -\frac{1}{2}ab·(-\frac{2}{3}ab^{2}-4ab) $；
(3) $ x·(3x^{2}-5x + 1)+3x^{2}·(x - 2) $；
(4) $ [ab·(1 - a)-2a·(b-\frac{1}{2})]·2ab^{2} $.
答案
(2)
$\begin{aligned} \quad \quad -\frac{1}{2}ab · ( - \frac{2}{3}ab^{2} - 4ab ) \quad \quad \\= ( - \frac{1}{2}ab ) · ( - \frac{2}{3}ab^{2} ) + ( - \frac{1}{2}ab ) · ( - 4ab ) \\ = \frac{1}{3}a^{2}b^{3} + 2a^{2}b^{2 } \end{aligned}$
(1)
$\begin{aligned} \quad 6a · (a - 3b) \\= 6a · a - 6a · 3b \\= 6a^{2} - 18ab \end{aligned}$
(3)
$\begin{aligned} \quad x · ( 3x^{2} - 5x + 1 ) + 3x^{2} · ( x - 2 ) \\ = 3x^{3} - 5x^{2} + x + 3x^{3} - 6x^{2} \\ = 6x^{3} - 5x^{2} + x - 6x^{2} \\ = 6x^{3} - 11x^{2} + x \end{aligned}$
(4)
$\begin{aligned} \quad [ ab · (1 - a ) - 2a · ( b - \frac{1}{2} ) ] · 2ab^{2} \\ = [ ab - a^{2}b - 2ab + a ] · 2ab^{2} \\ = [ - a^{2}b - ab + a ] · 2ab^{2} \\ = - 2a^{3}b^{3} - 2a^{2}b^{3} + 2a^{2}b^{2} \end{aligned}$
$\begin{aligned} \quad \quad -\frac{1}{2}ab · ( - \frac{2}{3}ab^{2} - 4ab ) \quad \quad \\= ( - \frac{1}{2}ab ) · ( - \frac{2}{3}ab^{2} ) + ( - \frac{1}{2}ab ) · ( - 4ab ) \\ = \frac{1}{3}a^{2}b^{3} + 2a^{2}b^{2 } \end{aligned}$
(1)
$\begin{aligned} \quad 6a · (a - 3b) \\= 6a · a - 6a · 3b \\= 6a^{2} - 18ab \end{aligned}$
(3)
$\begin{aligned} \quad x · ( 3x^{2} - 5x + 1 ) + 3x^{2} · ( x - 2 ) \\ = 3x^{3} - 5x^{2} + x + 3x^{3} - 6x^{2} \\ = 6x^{3} - 5x^{2} + x - 6x^{2} \\ = 6x^{3} - 11x^{2} + x \end{aligned}$
(4)
$\begin{aligned} \quad [ ab · (1 - a ) - 2a · ( b - \frac{1}{2} ) ] · 2ab^{2} \\ = [ ab - a^{2}b - 2ab + a ] · 2ab^{2} \\ = [ - a^{2}b - ab + a ] · 2ab^{2} \\ = - 2a^{3}b^{3} - 2a^{2}b^{3} + 2a^{2}b^{2} \end{aligned}$
解析
【分析】
本题是单项式乘多项式的运算，解题思路是利用单项式乘多项式的法则：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。首先将单项式$-\frac{1}{2}ab$分别与多项式$-\frac{2}{3}ab^2 - 4ab$的每一项相乘，注意处理好符号（负负得正），然后根据同底数幂的乘法法则（底数不变，指数相加）和系数的乘法运算，计算出每一项的结果，最后将所得的积相加即可。
【解析】
$\begin{aligned}\quad -\frac{1}{2}ab · ( - \frac{2}{3}ab^{2} - 4ab )&= ( - \frac{1}{2}ab ) · ( - \frac{2}{3}ab^{2} ) + ( - \frac{1}{2}ab ) · ( - 4ab ) \\&= (-\frac{1}{2})×(-\frac{2}{3})a^{1+1}b^{1+2} + (-\frac{1}{2})×(-4)a^{1+1}b^{1+1} \\&= \frac{1}{3}a^{2}b^{3} + 2a^{2}b^{2 }\end{aligned}$
【答案】
$\frac{1}{3}a^{2}b^{3} + 2a^{2}b^{2}$
【知识点】
单项式乘多项式，同底数幂的乘法
【点评】
本题考查单项式与多项式的乘法运算，需熟练掌握乘法分配律的应用，注意符号的运算规则，同时要准确运用同底数幂的乘法法则计算幂的部分，计算时需仔细核对系数和指数，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.7
本题是单项式乘多项式的运算，解题思路是利用单项式乘多项式的法则：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。首先将单项式$-\frac{1}{2}ab$分别与多项式$-\frac{2}{3}ab^2 - 4ab$的每一项相乘，注意处理好符号（负负得正），然后根据同底数幂的乘法法则（底数不变，指数相加）和系数的乘法运算，计算出每一项的结果，最后将所得的积相加即可。
【解析】
$\begin{aligned}\quad -\frac{1}{2}ab · ( - \frac{2}{3}ab^{2} - 4ab )&= ( - \frac{1}{2}ab ) · ( - \frac{2}{3}ab^{2} ) + ( - \frac{1}{2}ab ) · ( - 4ab ) \\&= (-\frac{1}{2})×(-\frac{2}{3})a^{1+1}b^{1+2} + (-\frac{1}{2})×(-4)a^{1+1}b^{1+1} \\&= \frac{1}{3}a^{2}b^{3} + 2a^{2}b^{2 }\end{aligned}$
【答案】
$\frac{1}{3}a^{2}b^{3} + 2a^{2}b^{2}$
【知识点】
单项式乘多项式，同底数幂的乘法
【点评】
本题考查单项式与多项式的乘法运算，需熟练掌握乘法分配律的应用，注意符号的运算规则，同时要准确运用同底数幂的乘法法则计算幂的部分，计算时需仔细核对系数和指数，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.7
4. 求 $ a·(4a^{2}-2a)-3a^{2}·(-a - 2) $的值，其中 $ a = -2 $.
答案
-40
解析
解：
1. 展开单项式乘多项式：
$ a · (4a^2 - 2a) = 4a^3 - 2a^2 $
$ -3a^2 · (-a - 2) = 3a^3 + 6a^2 $
2. 合并同类项：
$ 4a^3 - 2a^2 + 3a^3 + 6a^2 = 7a^3 + 4a^2 $
3. 代入 $a = -2$：
$ 7(-2)^3 + 4(-2)^2 = 7(-8) + 4(4) = -56 + 16 = -40 $
1. 展开单项式乘多项式：
$ a · (4a^2 - 2a) = 4a^3 - 2a^2 $
$ -3a^2 · (-a - 2) = 3a^3 + 6a^2 $
2. 合并同类项：
$ 4a^3 - 2a^2 + 3a^3 + 6a^2 = 7a^3 + 4a^2 $
3. 代入 $a = -2$：
$ 7(-2)^3 + 4(-2)^2 = 7(-8) + 4(4) = -56 + 16 = -40 $
5. 解方程：$ x·(3x - 4)+2x·(x + 7)=5x·(x - 7)+90 $.
答案
首先，将方程 $x(3x - 4) + 2x(x + 7) = 5x(x - 7) + 90$ 展开，
$x · 3x - x · 4 + 2x · x + 2x · 7 = 5x · x - 5x · 7 + 90$，
$3x^{2} - 4x + 2x^{2} + 14x = 5x^{2} - 35x + 90$，
然后，合并同类项，
$5x^{2} + 10x = 5x^{2} - 35x + 90$，
$5x^{2} -5x^{2} + 10x+35x = 90$，
$45x = 90$，
最后，系数化为1，得到：
$x = 2$。
$x · 3x - x · 4 + 2x · x + 2x · 7 = 5x · x - 5x · 7 + 90$，
$3x^{2} - 4x + 2x^{2} + 14x = 5x^{2} - 35x + 90$，
然后，合并同类项，
$5x^{2} + 10x = 5x^{2} - 35x + 90$，
$5x^{2} -5x^{2} + 10x+35x = 90$，
$45x = 90$，
最后，系数化为1，得到：
$x = 2$。
解析
【分析】
这是一道看似含二次项的方程，实际化简后会转化为一元一次方程。解题思路如下：首先利用单项式乘多项式的运算法则，将方程两边的括号展开，把方程转化为整式的和差形式；接着合并同类项，将含有相同次数的项合并，此时会发现方程两边的二次项可以抵消，得到一个一元一次方程；最后通过移项、系数化为1的步骤，求出未知数x的值。每一步的核心是准确运算，避免符号错误和计算失误。
【解析】
1. 利用单项式乘多项式法则展开方程两边：
$x·(3x - 4)+2x·(x + 7)=5x·(x - 7)+90$
$3x^2 - 4x + 2x^2 + 14x = 5x^2 - 35x + 90$
2. 合并同类项：
左边合并得：$5x^2 + 10x$，右边为：$5x^2 - 35x + 90$，即：
$5x^2 + 10x = 5x^2 - 35x + 90$
3. 移项消去二次项：
$5x^2 - 5x^2 + 10x + 35x = 90$
4. 合并同类项并系数化为1：
$45x = 90$
$x = 2$
【答案】
$x=2$
【知识点】
单项式乘多项式，合并同类项，解一元一次方程
【点评】
本题主要考查整式乘法运算与一元一次方程的解法，虽然方程初始含有二次项，但通过展开、合并同类项后会消去二次项，转化为基础的一元一次方程。解题时需注意单项式乘多项式的符号处理，以及移项过程中的符号变化，仔细计算即可得出正确结果。
【难度系数】
0.8
这是一道看似含二次项的方程，实际化简后会转化为一元一次方程。解题思路如下：首先利用单项式乘多项式的运算法则，将方程两边的括号展开，把方程转化为整式的和差形式；接着合并同类项，将含有相同次数的项合并，此时会发现方程两边的二次项可以抵消，得到一个一元一次方程；最后通过移项、系数化为1的步骤，求出未知数x的值。每一步的核心是准确运算，避免符号错误和计算失误。
【解析】
1. 利用单项式乘多项式法则展开方程两边：
$x·(3x - 4)+2x·(x + 7)=5x·(x - 7)+90$
$3x^2 - 4x + 2x^2 + 14x = 5x^2 - 35x + 90$
2. 合并同类项：
左边合并得：$5x^2 + 10x$，右边为：$5x^2 - 35x + 90$，即：
$5x^2 + 10x = 5x^2 - 35x + 90$
3. 移项消去二次项：
$5x^2 - 5x^2 + 10x + 35x = 90$
4. 合并同类项并系数化为1：
$45x = 90$
$x = 2$
【答案】
$x=2$
【知识点】
单项式乘多项式，合并同类项，解一元一次方程
【点评】
本题主要考查整式乘法运算与一元一次方程的解法，虽然方程初始含有二次项，但通过展开、合并同类项后会消去二次项，转化为基础的一元一次方程。解题时需注意单项式乘多项式的符号处理，以及移项过程中的符号变化，仔细计算即可得出正确结果。
【难度系数】
0.8
