6. 如图①，有 A，B，C 三种不同型号的卡片.A 型卡片是相邻两边长分别为 $ a,b $ 的长方形，有 2 张，B 型卡片是相邻两边长分别为 $ a,c $ 的长方形，C 型卡片是相邻两边长分别为 $ b,c $ 的长方形，B，C 型卡片各有 1 张.从中取 $ n $ 张卡片 $ (n＞1) $，把取出的这些卡片拼成一个长方形(注：$ a,b,c $ 各不相等).


(1) 在图②，图③中画出拼得的两种长方形的示意图(所拼的图中既不能有缝隙，也不能有重合部分).
(2) 图②中，长方形的面积既可以表示为，又可以表示为，所以可得等式：.
图③中，长方形的面积既可以表示为，又可以表示为，所以可得等式：.
(3) 除了图②和图③，你觉得还可以拼出多少种不同的长方形？说说你的想法.

(1) （示意图如下，图②为B型和C型卡片拼接，图③为2张A型和1张B型卡片拼接）
图②：
```
+-----+-----+
| | |
| B | C | (长为a+b，宽为c)
| | |
+-----+-----+
```
图③：
```
+-----------+
| |
| A | (上部分2张A型，下部分1张B型，长为2b+c，宽为a)
| A |
| |
+-----------+
| B |
| |
+-----------+
```
(2) 图②：ac+bc；c(a+b)；ac+bc=c(a+b)
图③：2ab+ac；a(2b+c)；2ab+ac=a(2b+c)
(3) 2种。理由：还可拼出2张A型卡片（面积2ab，长2a宽b或长a宽2b）和2张A型与1张C型卡片（面积2ab+bc，长2a+c宽b）。

【分析】
1. 第(1)问：解题核心是利用卡片边长的匹配性拼接长方形。观察各型号卡片的边长，B型（$a×c$）和C型（$b×c$）的宽均为$c$，可将长$a$与$b$拼接，形成长$a+b$、宽$c$的长方形；2张A型（$a×b$）和1张B型（$a×c$）的长均为$a$，可将宽$b$、$b$、$c$拼接，形成长$2b+c$、宽$a$的长方形，确保拼接后无重合无缝隙。
2. 第(2)问：从两个维度表示拼成长方形的面积，一是各卡片面积之和，二是长方形长×宽，根据面积相等的原理，推导得出因式分解的等式。
3. 第(3)问：枚举剩余的有效卡片组合，判断能否拼成长方形：①2张A型卡片，面积为$2ab$，可拼出两种不同的长方形；②2张A型和1张C型卡片，面积为$2ab+bc$，可拼出一种长方形，合计2种不同的长方形。
【解析】
(1) 拼得的长方形示意图如下：
图②（B型和C型拼接）：
```
+-----+-----+
| | |
| B | C | （长为$a+b$，宽为$c$）
| | |
+-----+-----+
```
图③（2张A型和1张B型拼接）：
```
+-----------+
| |
| A |
| A | （长为$2b+c$，宽为$a$）
| |
+-----------+
| B |
| |
+-----------+
```
(2) 图②：
长方形的面积既可以表示为各卡片面积之和：$\boldsymbol{ac+bc}$，又可以表示为长方形长乘宽：$\boldsymbol{c(a+b)}$，所以可得等式：$\boldsymbol{ac+bc=c(a+b)}$。
图③：
长方形的面积既可以表示为各卡片面积之和：$\boldsymbol{2ab+ac}$，又可以表示为长方形长乘宽：$\boldsymbol{a(2b+c)}$，所以可得等式：$\boldsymbol{2ab+ac=a(2b+c)}$。
(3) 还可以拼出2种不同的长方形。理由：
① 取2张A型卡片，面积为$2ab$，可拼成长为$2a$、宽为$b$或长为$a$、宽为$2b$的长方形；
② 取2张A型和1张C型卡片，面积为$2ab+bc$，可拼成长为$2a+c$、宽为$b$的长方形，这两种均为不同的长方形。
【答案】
(1) 见解析中的示意图；
(2) 图②：$ac+bc$；$c(a+b)$；$ac+bc=c(a+b)$
图③：$2ab+ac$；$a(2b+c)$；$2ab+ac=a(2b+c)$
(3) 2种，理由见解析。
【知识点】
因式分解几何意义、长方形面积公式、图形拼接
【点评】
本题将代数因式分解与几何图形拼接结合，体现了数形结合的数学思想，既考察了长方形边长与面积的基础知识点，又锻炼了空间想象能力与逻辑推导能力，帮助学生直观理解因式分解的本质。
【难度系数】
0.6