1. 用乘法分配律计算 $ 6×(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{6}) $.

$4$

$6×(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{6})$
$=6×\frac{1}{2}+6×\frac{1}{3}-6×\frac{1}{6}$
$=3 + 2 - 1$
$=4$

2. 你会计算 $ 6x·(\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{3}x-\frac{1}{6}) $吗？

$6x · (\frac{1}{2}x^{2} + \frac{1}{3}x - \frac{1}{6})$
$= 6x · \frac{1}{2}x^{2} + 6x · \frac{1}{3}x - 6x · \frac{1}{6}$
$= 3x^{3} + 2x^{2} - x$

【分析】
这是一道单项式乘多项式的运算题，解题思路是利用乘法分配律，将单项式$6x$分别与多项式$\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{3}x-\frac{1}{6}$的每一项相乘，再把所得的积相加。计算每一项乘积时，要注意系数相乘的结果，以及同底数幂相乘时“底数不变，指数相加”的法则，同时留意符号的处理，确保每一步计算准确。
【解析】
$\begin{aligned}6x · (\frac{1}{2}x^{2} + \frac{1}{3}x - \frac{1}{6})&= 6x · \frac{1}{2}x^{2} + 6x · \frac{1}{3}x - 6x · \frac{1}{6} \\&= 3x^{3} + 2x^{2} - x\end{aligned}$
【答案】
$3x^{3} + 2x^{2} - x$
【知识点】
1. 单项式乘多项式法则
2. 同底数幂的乘法
【点评】
本题是单项式乘多项式的基础运算题，核心考察乘法分配律在整式乘法中的应用以及同底数幂的乘法法则。计算过程中需注意系数的约分和符号的准确性，是整式乘法入门阶段的典型题型，有助于巩固整式乘法的基础运算能力。
【难度系数】
0.8

例 计算：
(1) $ 4a^{2}b·(2a^{2}-3ab + b^{2}) $；
(2) $ (-x)^{3}·(-8x^{3}y^{3})-3x^{2}·(x^{4}y^{3}+\frac{2}{3}x^{3}y^{2}-1) $.

(1) $4a^{2}b·(2a^{2}-3ab + b^{2})$
$=4a^{2}b·2a^{2}+4a^{2}b·(-3ab)+4a^{2}b·b^{2}$
$=8a^{4}b - 12a^{3}b^{2} + 4a^{2}b^{3}$
(2) $(-x)^{3}·(-8x^{3}y^{3})-3x^{2}·(x^{4}y^{3}+\frac{2}{3}x^{3}y^{2}-1)$
$=(-x^{3})·(-8x^{3}y^{3}) - 3x^{2}·x^{4}y^{3} - 3x^{2}·\frac{2}{3}x^{3}y^{2} + 3x^{2}·1$
$=8x^{6}y^{3} - 3x^{6}y^{3} - 2x^{5}y^{2} + 3x^{2}$
$=5x^{6}y^{3} - 2x^{5}y^{2} + 3x^{2}$

【分析】
对于这两道整式乘法计算题，可按如下思路解题：
1. 第(1)题是单项式乘多项式，依据乘法分配律，用单项式分别乘多项式的每一项，再将所得的积相加，计算时要遵循同底数幂的乘法法则（底数不变，指数相加），同时注意符号的正确处理。
2. 第(2)题是整式的混合运算，需先计算乘方，再依次进行单项式乘单项式、单项式乘多项式的运算，接着去括号，最后合并同类项。过程中要留意负数乘方的符号，使用分配律时不能漏乘多项式中的常数项，合并同类项要准确对应同类项。
【解析】
(1) $4a^{2}b·(2a^{2}-3ab + b^{2})$
$=4a^{2}b·2a^{2}+4a^{2}b·(-3ab)+4a^{2}b·b^{2}$
$=8a^{4}b - 12a^{3}b^{2} + 4a^{2}b^{3}$
(2) $(-x)^{3}·(-8x^{3}y^{3})-3x^{2}·(x^{4}y^{3}+\frac{2}{3}x^{3}y^{2}-1)$
$=(-x^{3})·(-8x^{3}y^{3}) - 3x^{2}·x^{4}y^{3} - 3x^{2}·\frac{2}{3}x^{3}y^{2} + 3x^{2}·1$
$=8x^{6}y^{3} - 3x^{6}y^{3} - 2x^{5}y^{2} + 3x^{2}$
$=5x^{6}y^{3} - 2x^{5}y^{2} + 3x^{2}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{8a^{4}b - 12a^{3}b^{2} + 4a^{2}b^{3}}$；(2) $\boldsymbol{5x^{6}y^{3} - 2x^{5}y^{2} + 3x^{2}}$
【知识点】
单项式乘多项式、整式混合运算、同底数幂乘法
【点评】
本题主要考查整式的乘法运算，解题关键是熟练掌握单项式乘多项式的分配律、同底数幂的乘法法则以及整式混合运算的顺序。易错点在于符号的处理（如负数乘方、分配律中的负号）和漏乘多项式中的常数项，计算时需细心严谨。
【难度系数】
0.8

1. 填空题：
(1) c·(a + b)= ；
(2) a·(2a + 3)= ；
(3) (2a + b + 3c)·2a= ；
$(4) 2a^{2}·( )\_\_\_\_\_ )=2a^{4}+4a^{3}+10a^{2} .$

(1) $ca+cb$（或 $ac+bc$）
(2) $2a^{2} + 3a$
(3) $4a^{2} + 2ab + 6ac$
(4) $a^{2} + 2a + 5$

(1) 根据单项式乘多项式的运算法则，需要将单项式 $c$ 分别与多项式中的 $a$ 和 $b$ 相乘，即 $c · a + c · b=ca + cb$，所以，答案为 $ca+cb$（或 $ac+bc$）。
(2) 需要将单项式 $a$ 分别与多项式中的 $2a$ 和 3 相乘，
即 $a · 2a + a · 3 = 2a^{2} + 3a$，
所以，答案为 $2a^{2} + 3a$。
(3) 需要将多项式中的每一个因子分别与单项式 $2a$ 相乘，
即 $2a · 2a + b · 2a + 3c · 2a=4a^{2} + 2ab + 6ac$，
所以，答案为 $4a^{2} + 2ab + 6ac$。
(4) 需要找到一个多项式，使得它与 $2a^{2}$ 相乘后得到 $2a^{4} + 4a^{3} + 10a^{2}$，
将 $2a^{4} + 4a^{3} + 10a^{2}$ 除以 $2a^{2}$，
得到：$a^{2} + 2a + 5$，
所以，答案为：$a^{2} + 2a + 5$。

2. 下列计算是否正确？正确的打“√”，错误的打“×”，并改正.
(1) $ a·(a^{2}-a + 1)=a^{3}-a^{2}+1 $；()
(2) $ -2x·(2x - 1)=-4x^{2}-2x $；()
(3) $ ab·(a + b)=a· a + b· b=a^{2}+b^{2} $；()
(4) $ 2a^{2}·(3a^{2}-3ab - b^{2})=6a^{4}-6a^{3}b - a^{2}b^{2} $.()

(1) ×
(2) ×
(3) ×
(4) ×

(1) 根据乘法分配律 $a(a^2 - a + 1) = a · a^2 - a · a + a · 1 = a^3 - a^2 + a$，原题漏写最后一项的 $a$，故错误，正确答案为 $a^3 - a^2 + a$；
(2) 根据乘法分配律 $-2x(2x - 1) = -2x · 2x + (-2x) · (-1) = -4x^2 + 2x$，原题符号错误，故错误，正确答案为 $-4x^2 + 2x$；
(3) 根据乘法分配律 $ab(a + b) = ab · a + ab · b = a^2b + ab^2$，原题漏写 $ab$ 的公共因子，故错误，正确答案为 $a^2b + ab^2$；
(4) 根据乘法分配律 $2a^2(3a^2 - 3ab - b^2) = 2a^2 · 3a^2 + 2a^2 · (-3ab) + 2a^2 · (-b^2) = 6a^4 - 6a^3b - 2a^2b^2$，原题最后一项系数错误，故错误，正确答案为 $6a^4 - 6a^3b - 2a^2b^2$。