登录
4. 求$-3(a + b)·[-2(a + b)^{2}]$的值，其中$a + b = -1$.
答案
$ -3(a + b) · [-2(a + b)^{2}]$
$ = (-3) × (-2) × (a + b)^{1+2}$
$ = 6(a + b)^{3}$
当$a + b = -1$时，
原式$= 6× (-1)^3$
$ = 6 × (-1)$
$ = -6$
$ = (-3) × (-2) × (a + b)^{1+2}$
$ = 6(a + b)^{3}$
当$a + b = -1$时，
原式$= 6× (-1)^3$
$ = 6 × (-1)$
$ = -6$
解析
【分析】
首先，观察到式子中含有相同的因式$(a+b)$，我们可以先利用单项式乘单项式的运算法则对原式进行化简：先将系数相乘，再根据同底数幂的乘法法则，把$(a+b)$的指数相加，得到最简形式。之后把已知条件$a+b=-1$代入化简后的式子，计算出最终结果即可。这样先化简再代入的方式能简化计算过程，减少出错概率。
【解析】
$\begin{aligned}-3(a + b)·[-2(a + b)^{2}]&= (-3)×(-2)×(a + b)^{1+2}\\&= 6(a + b)^{3}\\\end{aligned}$
当$a + b = -1$时，
$\begin{aligned}原式&= 6× (-1)^3\\&= 6×(-1)\\&= -6\end{aligned}$
【答案】
$\boldsymbol{-6}$
【知识点】
单项式乘单项式、同底数幂乘法、代数式求值
【点评】
本题主要考查整式的乘法运算与代数式求值，解题关键是熟练掌握单项式乘单项式法则和同底数幂的乘法法则，先化简再代入求值能有效简化运算，计算过程中要注意符号的正确处理。
【难度系数】
0.8
首先，观察到式子中含有相同的因式$(a+b)$，我们可以先利用单项式乘单项式的运算法则对原式进行化简：先将系数相乘，再根据同底数幂的乘法法则，把$(a+b)$的指数相加，得到最简形式。之后把已知条件$a+b=-1$代入化简后的式子，计算出最终结果即可。这样先化简再代入的方式能简化计算过程，减少出错概率。
【解析】
$\begin{aligned}-3(a + b)·[-2(a + b)^{2}]&= (-3)×(-2)×(a + b)^{1+2}\\&= 6(a + b)^{3}\\\end{aligned}$
当$a + b = -1$时，
$\begin{aligned}原式&= 6× (-1)^3\\&= 6×(-1)\\&= -6\end{aligned}$
【答案】
$\boldsymbol{-6}$
【知识点】
单项式乘单项式、同底数幂乘法、代数式求值
【点评】
本题主要考查整式的乘法运算与代数式求值，解题关键是熟练掌握单项式乘单项式法则和同底数幂的乘法法则，先化简再代入求值能有效简化运算，计算过程中要注意符号的正确处理。
【难度系数】
0.8
5. 计算如图所示的梯形的面积.
答案
$2ab$
解析
梯形面积公式：$S = \frac{1}{2} × (上底 + 下底) × 高$
由图可知：上底为$2a - b$，下底为$b$，高为$2b$
代入公式得：$S = \frac{1}{2} × [(2a - b) + b] × 2b$
化简得：$S = \frac{1}{2} × 2a × 2b = 2ab$
由图可知：上底为$2a - b$，下底为$b$，高为$2b$
代入公式得：$S = \frac{1}{2} × [(2a - b) + b] × 2b$
化简得：$S = \frac{1}{2} × 2a × 2b = 2ab$
6. 在一个相邻两边长分别为$a$和$b$的长方形地块上，开辟出一部分作为花坛.
(1) 图①和图②给出了两种设计方案，请你计算花坛（图中阴影部分）的面积（用含有$a$，$b$的代数式表示）；
(2) 请再设计一种方案，并计算花坛的面积（用含有$a$，$b$的代数式表示）.
(1) 图①和图②给出了两种设计方案，请你计算花坛（图中阴影部分）的面积（用含有$a$，$b$的代数式表示）；
(2) 请再设计一种方案，并计算花坛的面积（用含有$a$，$b$的代数式表示）.
答案
(1) 图①：长方形面积为$ab$，空白菱形对角线长分别为$a$和$b$，面积为$\frac{1}{2}ab$，阴影面积$=ab - \frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}ab$。
图②：空白十字形面积$=b·\frac{a}{6}+a·\frac{b}{6}-\frac{b}{6}·\frac{a}{6}=\frac{ab}{6}+\frac{ab}{6}-\frac{ab}{36}=\frac{11ab}{36}$，阴影面积$=ab - \frac{11ab}{36}=\frac{25ab}{36}$。
(2) 方案：在长方形内开辟一个长为$\frac{b}{2}$、宽为$\frac{a}{2}$的矩形花坛，面积$=\frac{b}{2}·\frac{a}{2}=\frac{1}{4}ab$。
图②：空白十字形面积$=b·\frac{a}{6}+a·\frac{b}{6}-\frac{b}{6}·\frac{a}{6}=\frac{ab}{6}+\frac{ab}{6}-\frac{ab}{36}=\frac{11ab}{36}$，阴影面积$=ab - \frac{11ab}{36}=\frac{25ab}{36}$。
(2) 方案：在长方形内开辟一个长为$\frac{b}{2}$、宽为$\frac{a}{2}$的矩形花坛，面积$=\frac{b}{2}·\frac{a}{2}=\frac{1}{4}ab$。
解析
【分析】
(1) 计算阴影面积可采用“整体减空白”的思路：先算出长方形地块的总面积，再分别求出两种方案中空白部分的面积，用总面积减去空白面积即可得到阴影（花坛）的面积。图①中空白是菱形，可利用菱形对角线求面积；图②中空白是十字形，计算时要注意十字交叉处的小矩形被重复计算了一次，需减去重叠部分的面积。
(2) 设计花坛方案只需符合在长方形内开辟的要求即可，比如设计一个中心小矩形花坛，直接计算其面积即可。
【解析】
(1) 图①：
长方形地块的面积为$ab$，
空白菱形的对角线长分别为$a$和$b$，根据菱形面积公式（对角线乘积的一半），空白菱形的面积为$\frac{1}{2}ab$，
因此阴影（花坛）的面积为：$ab - \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2}ab$。
图②：
空白十字形的面积为横向长方形面积加上纵向长方形面积，再减去重叠部分的小矩形面积，即：
$b·\frac{a}{6} + a·\frac{b}{6} - \frac{b}{6}·\frac{a}{6} = \frac{ab}{6} + \frac{ab}{6} - \frac{ab}{36} = \frac{6ab + 6ab - ab}{36} = \frac{11ab}{36}$，
因此阴影（花坛）的面积为：$ab - \frac{11ab}{36} = \frac{36ab - 11ab}{36} = \frac{25ab}{36}$。
(2) 设计方案：在长方形地块的中心开辟一个长为$\frac{b}{2}$、宽为$\frac{a}{2}$的矩形花坛（答案不唯一），
该花坛的面积为：$\frac{b}{2}·\frac{a}{2} = \frac{1}{4}ab$。
【答案】
(1) 图①花坛面积为$\boldsymbol{\frac{1}{2}ab}$；图②花坛面积为$\boldsymbol{\frac{25ab}{36}}$；
(2) 示例方案：在长方形内开辟长为$\frac{b}{2}$、宽为$\frac{a}{2}$的矩形花坛，面积为$\boldsymbol{\frac{1}{4}ab}$（答案不唯一）。
【知识点】
长方形面积计算、菱形面积计算、面积割补法
【点评】
本题主要考查平面图形的面积计算，需要熟练掌握长方形、菱形等基本图形的面积公式，同时运用“割补法”解决组合图形的面积问题，第二问还考查了学生的创新设计能力，方案灵活多样，只要符合要求即可。
【难度系数】
0.7
(1) 计算阴影面积可采用“整体减空白”的思路：先算出长方形地块的总面积，再分别求出两种方案中空白部分的面积，用总面积减去空白面积即可得到阴影（花坛）的面积。图①中空白是菱形，可利用菱形对角线求面积；图②中空白是十字形，计算时要注意十字交叉处的小矩形被重复计算了一次，需减去重叠部分的面积。
(2) 设计花坛方案只需符合在长方形内开辟的要求即可，比如设计一个中心小矩形花坛，直接计算其面积即可。
【解析】
(1) 图①：
长方形地块的面积为$ab$，
空白菱形的对角线长分别为$a$和$b$，根据菱形面积公式（对角线乘积的一半），空白菱形的面积为$\frac{1}{2}ab$，
因此阴影（花坛）的面积为：$ab - \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2}ab$。
图②：
空白十字形的面积为横向长方形面积加上纵向长方形面积，再减去重叠部分的小矩形面积，即：
$b·\frac{a}{6} + a·\frac{b}{6} - \frac{b}{6}·\frac{a}{6} = \frac{ab}{6} + \frac{ab}{6} - \frac{ab}{36} = \frac{6ab + 6ab - ab}{36} = \frac{11ab}{36}$，
因此阴影（花坛）的面积为：$ab - \frac{11ab}{36} = \frac{36ab - 11ab}{36} = \frac{25ab}{36}$。
(2) 设计方案：在长方形地块的中心开辟一个长为$\frac{b}{2}$、宽为$\frac{a}{2}$的矩形花坛（答案不唯一），
该花坛的面积为：$\frac{b}{2}·\frac{a}{2} = \frac{1}{4}ab$。
【答案】
(1) 图①花坛面积为$\boldsymbol{\frac{1}{2}ab}$；图②花坛面积为$\boldsymbol{\frac{25ab}{36}}$；
(2) 示例方案：在长方形内开辟长为$\frac{b}{2}$、宽为$\frac{a}{2}$的矩形花坛，面积为$\boldsymbol{\frac{1}{4}ab}$（答案不唯一）。
【知识点】
长方形面积计算、菱形面积计算、面积割补法
【点评】
本题主要考查平面图形的面积计算，需要熟练掌握长方形、菱形等基本图形的面积公式，同时运用“割补法”解决组合图形的面积问题，第二问还考查了学生的创新设计能力，方案灵活多样，只要符合要求即可。
【难度系数】
0.7
