7. 如图，分别以$\mathrm{Rt}△ ABC$的直角边$AC$，斜边$AB$为边向外作等边三角形$ACD$和等边三角形$ABE$，点$F$为$AB$的中点，连接$DF$，$EF$，$∠ ACB=90°$，$∠ ABC=30°$，则以下三个结论：①$AC⊥ DF$；②四边形$BCDF$为平行四边形；③$DA+DF=BE$.
其中所有正确结论的序号是.

7. ①②

【解析】
- 对于①：
因为$△ ACD$是等边三角形，所以$∠ CAD = 60°$，$AD = AC$。
已知$∠ BAC = 60°$，$∠ ACB = 90°$，$∠ ABC = 30°$，点$F$为$AB$的中点，所以$CF = AF=\frac{1}{2}AB$，$△ ACF$是等边三角形。
则$∠ CAF = 60°$，$AF = AC$，又$AD = AC$，所以$AD = AF$，$∠ DAF=∠ CAD+∠ CAF = 120°$，$∠ AFD=(180°-∠ DAF)÷2 = 30°$。
所以$∠ CFD=∠ ACD+∠ AFD = 90°$，即$AC⊥ DF$。
对于②：
因为$△ ABE$是等边三角形，$F$为$AB$中点，所以$EF⊥ AB$，$∠ EFA = 90°$。
又$∠ ACB = 90°$，$∠ CFD = 90°$，所以$EF// BC$，$DF// BC$。
所以四边形$BCDF$为平行四边形。
对于③：
$DA = AC$，$DF = BC$，$BE = AB$，在$Rt△ ABC$中，$AB = 2AC$，$BC=\sqrt{3}AC$，$DA + DF=AC + BC≠ AB = BE$。
【答案】
①②
【知识点】
等边三角形性质、平行四边形判定、直角三角形性质
【点评】
本题综合考查了多种几何图形的性质和判定，需要对相关知识有深入理解并能灵活运用。
【难度系数】
0.3

8. (2024·湖南) 如图，在四边形$ABCD$中，$AB// CD$，点$E$在边$AB$上， .
请从 “①$∠ B=∠ AED$；②$AE=BE$，$AE=CD$” 这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上(填序号)，再解决下列问题.
(1) 求证：四边形$BCDE$为平行四边形.
(2) 若$AD⊥ AB$，$AD=8$，$BC=10$，求线段$AE$的长.

8. （1）证明：选择①或②，证明如下：选择①，
∵∠B = ∠AED，
∴BC//DE．
∵AB//CD，
∴四边形 BCDE 为平行四边形．选择②，
∵AE = BE，AE = CD，
∴BE = CD．
∵AB//CD，
∴四边形 BCDE 为平行四边形．
（2）解：由（1）可知，四边形 BCDE 为平行四边形，
∴DE = BC = 10．
∵AD⊥AB，
∴∠A = 90°，
∴AE = $\sqrt{DE^{2}-AD^{2}}=\sqrt{10^{2}-8^{2}} = 6$，即线段 AE 的长为 6．

【解析】
（1）证明：选择①，
∵∠B = ∠AED，
∴BC//DE．
∵AB//CD，
∴四边形 BCDE 为平行四边形．
选择②，
∵AE = BE，AE = CD，
∴BE = CD．
∵AB//CD，
∴四边形 BCDE 为平行四边形．
（2）解：由（1）可知，四边形 BCDE 为平行四边形，
∴DE = BC = 10．
∵AD⊥AB，
∴∠A = 90°，
∴AE = $\sqrt{DE^{2}-AD^{2}}=\sqrt{10^{2}-8^{2}} = 6$，即线段 AE 的长为 6．
【答案】
（1）证明见解析；（2）6
【知识点】
平行四边形的判定、勾股定理
【点评】
本题考查平行四边形的判定及勾股定理的应用，通过选择不同条件进行平行四边形的判定，再利用平行四边形性质和勾股定理求解线段长度。
【难度系数】
0.5