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2. 下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是(
A.对角线互相平分
B.两组对边分别相等
C.对角线互相垂直
D.一组对边平行，一组对角相等
C
)A.对角线互相平分
B.两组对边分别相等
C.对角线互相垂直
D.一组对边平行，一组对角相等
答案
2. C
解析
【解析】
- 选项A：
根据平行四边形的判定定理：对角线互相平分的四边形是平行四边形，所以该选项能判定四边形是平行四边形。
- 选项B：
根据平行四边形的判定定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，所以该选项能判定四边形是平行四边形。
- 选项C：
对角线互相垂直的四边形不一定是平行四边形，比如筝形（对角线互相垂直但不互相平分），所以该选项不能判定四边形是平行四边形。
- 选项D：
已知一组对边平行，一组对角相等，可通过角的关系推出另一组对边平行，再根据平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，所以该选项能判定四边形是平行四边形。
综上，答案是C选项。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的判定、平行四边形的定义、平行四边形的性质
【点评】
本题主要考查平行四边形的判定定理，需要学生对这些定理有清晰的理解和记忆，通过对每个选项的分析来判断是否能判定四边形为平行四边形。
【难度系数】
0.7
- 选项A：
根据平行四边形的判定定理：对角线互相平分的四边形是平行四边形，所以该选项能判定四边形是平行四边形。
- 选项B：
根据平行四边形的判定定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，所以该选项能判定四边形是平行四边形。
- 选项C：
对角线互相垂直的四边形不一定是平行四边形，比如筝形（对角线互相垂直但不互相平分），所以该选项不能判定四边形是平行四边形。
- 选项D：
已知一组对边平行，一组对角相等，可通过角的关系推出另一组对边平行，再根据平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，所以该选项能判定四边形是平行四边形。
综上，答案是C选项。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的判定、平行四边形的定义、平行四边形的性质
【点评】
本题主要考查平行四边形的判定定理，需要学生对这些定理有清晰的理解和记忆，通过对每个选项的分析来判断是否能判定四边形为平行四边形。
【难度系数】
0.7
3. 四边形$ABCD$中，对角线$AC$，$BD$相交于点$O$，给出下列四个条件：①$AD// BC$；②$AD=BC$；③$OA=OC$；④$OB=OD$.从中任选两个条件，能使四边形$ABCD$为平行四边形的选法有(
A.6种
B.5种
C.4种
D.3种
C
)A.6种
B.5种
C.4种
D.3种
答案
3. C
解析
【解析】
- 选①②：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，所以①②能判定四边形$ABCD$是平行四边形。
- 选③④：对角线互相平分的四边形是平行四边形，所以③④能判定四边形$ABCD$是平行四边形。
- 选①③：因为$AD// BC$，所以$∠ OAD=∠ OCB$，$∠ ODA=∠ OBC$，又$OA = OC$，所以$△ AOD≌△ COB(AAS)$，则$AD = BC$，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，所以①③能判定四边形$ABCD$是平行四边形。
- 选①④：同①③的证明方法，可证$△ AOD≌△ BOC(AAS)$，得到$AD = BC$，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，所以①④能判定四边形$ABCD$是平行四边形。
综上，能使四边形$ABCD$为平行四边形的选法有$4$种。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质
【点评】
本题考查平行四边形的判定方法，需要对不同条件组合进行分析推理。
【难度系数】
0.6
- 选①②：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，所以①②能判定四边形$ABCD$是平行四边形。
- 选③④：对角线互相平分的四边形是平行四边形，所以③④能判定四边形$ABCD$是平行四边形。
- 选①③：因为$AD// BC$，所以$∠ OAD=∠ OCB$，$∠ ODA=∠ OBC$，又$OA = OC$，所以$△ AOD≌△ COB(AAS)$，则$AD = BC$，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，所以①③能判定四边形$ABCD$是平行四边形。
- 选①④：同①③的证明方法，可证$△ AOD≌△ BOC(AAS)$，得到$AD = BC$，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，所以①④能判定四边形$ABCD$是平行四边形。
综上，能使四边形$ABCD$为平行四边形的选法有$4$种。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质
【点评】
本题考查平行四边形的判定方法，需要对不同条件组合进行分析推理。
【难度系数】
0.6
4. 如图，在平面直角坐标系中，$E$是$BC$的中点，已知$A(0, 4)$，$B(-2, 0)$，$C(8, 0)$，$D(4, 4)$，点$P$是线段$BC$上的一个动点，当$BP$的长为
1 或 9
时，以点$P$，$A$，$D$，$E$为顶点的四边形是平行四边形.答案
4. 1 或 9
解析
【解析】
已知$B(-2,0)$，$C(8,0)$，$E$是$BC$中点，则$E$点坐标为$(\frac{-2 + 8}{2},0)=(3,0)$。
因为$A(0,4)$，$D(4,4)$，所以$AD// x$轴，$AD = 4$。
若以点$P$，$A$，$D$，$E$为顶点的四边形是平行四边形，则$AD// EP$且$AD = EP = 4$。
设$P(x,0)$，则$\vert x - 3\vert = 4$，即$x - 3 = 4$或$x - 3 = - 4$。
当$x - 3 = 4$时，$x = 7$，此时$BP = 7 - (-2)=9$；
当$x - 3 = - 4$时，$x = - 1$，此时$BP = - 1 - (-2)=1$。
【答案】
1 或 9
【知识点】
平行四边形的判定、中点坐标公式、两点间距离公式
【点评】
本题通过平行四边形的性质建立等式求解点的坐标，进而求出线段长度，考查了对平行四边形判定条件的运用以及坐标运算能力。
【难度系数】
0.3
已知$B(-2,0)$，$C(8,0)$，$E$是$BC$中点，则$E$点坐标为$(\frac{-2 + 8}{2},0)=(3,0)$。
因为$A(0,4)$，$D(4,4)$，所以$AD// x$轴，$AD = 4$。
若以点$P$，$A$，$D$，$E$为顶点的四边形是平行四边形，则$AD// EP$且$AD = EP = 4$。
设$P(x,0)$，则$\vert x - 3\vert = 4$，即$x - 3 = 4$或$x - 3 = - 4$。
当$x - 3 = 4$时，$x = 7$，此时$BP = 7 - (-2)=9$；
当$x - 3 = - 4$时，$x = - 1$，此时$BP = - 1 - (-2)=1$。
【答案】
1 或 9
【知识点】
平行四边形的判定、中点坐标公式、两点间距离公式
【点评】
本题通过平行四边形的性质建立等式求解点的坐标，进而求出线段长度，考查了对平行四边形判定条件的运用以及坐标运算能力。
【难度系数】
0.3
5. 如图，在四边形$ABCD$中，$AB// CD$，$AD// BC$，现在请你添加一个适当的条件：
BE = DF
，使得四边形$AECF$为平行四边形(图中不再添加点和线).答案
5. BE = DF
解析
【解析】
因为$AB// CD$，$AD// BC$，所以四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AB = CD$。
若添加$BE = DF$，则$AB - BE = CD - DF$，即$AE = CF$。
又因为$AB// CD$，所以$AE// CF$。
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，所以四边形$AECF$是平行四边形。
【答案】
$BE = DF$
【知识点】
平行四边形的判定、平行四边形的性质
【点评】
本题考查平行四边形的判定与性质，通过添加条件使四边形$AECF$满足平行四边形的判定条件，考查学生对平行四边形相关知识的理解和运用能力。
【难度系数】
$0.6$
因为$AB// CD$，$AD// BC$，所以四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AB = CD$。
若添加$BE = DF$，则$AB - BE = CD - DF$，即$AE = CF$。
又因为$AB// CD$，所以$AE// CF$。
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，所以四边形$AECF$是平行四边形。
【答案】
$BE = DF$
【知识点】
平行四边形的判定、平行四边形的性质
【点评】
本题考查平行四边形的判定与性质，通过添加条件使四边形$AECF$满足平行四边形的判定条件，考查学生对平行四边形相关知识的理解和运用能力。
【难度系数】
$0.6$
6. 如图，已知$□ ABCD$，$AC$，$BD$相交于点$O$，延长$CD$到点$E$，使$CD=DE$，连接$AE$. 求证：四边形$ABDE$是平行四边形.
答案
6. 证明：
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB//CD，AB = CD．
∵CD = DE，
∴AB = DE，
∴四边形 ABDE 是平行四边形．
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB//CD，AB = CD．
∵CD = DE，
∴AB = DE，
∴四边形 ABDE 是平行四边形．
解析
【解析】
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$AB// CD$，$AB = CD$．
∵$CD = DE$，
∴$AB = DE$，
又$AB// CD$，即$AB// DE$，
根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，
∴四边形$ABDE$是平行四边形．
【答案】
证明：∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$AB// CD$，$AB = CD$．
∵$CD = DE$，
∴$AB = DE$，
又$AB// CD$，即$AB// DE$，
∴四边形$ABDE$是平行四边形．
【知识点】
平行四边形的性质、平行四边形的判定
【点评】
本题考查平行四边形的性质与判定的综合运用，通过已知条件逐步推导得出结论，思路清晰，是对平行四边形相关知识的基础考查。
【难度系数】
0.6
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$AB// CD$，$AB = CD$．
∵$CD = DE$，
∴$AB = DE$，
又$AB// CD$，即$AB// DE$，
根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，
∴四边形$ABDE$是平行四边形．
【答案】
证明：∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$AB// CD$，$AB = CD$．
∵$CD = DE$，
∴$AB = DE$，
又$AB// CD$，即$AB// DE$，
∴四边形$ABDE$是平行四边形．
【知识点】
平行四边形的性质、平行四边形的判定
【点评】
本题考查平行四边形的性质与判定的综合运用，通过已知条件逐步推导得出结论，思路清晰，是对平行四边形相关知识的基础考查。
【难度系数】
0.6
