18.(8 分)在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共 40 只,这些球除颜色外其他完全相同. 小颖做摸球试验,搅匀后,她从盒子里随机摸出一只球记下颜色后,再把球放回盒子中,不断重复上述过程,下表是实验中的一组统计数据：

(1)请估计：当 n 很大时,摸到白球的频率将会接近(精确到 0.1)；
(2)若从盒子里随机摸出一只球,则摸到白球的概率的估计值为；
(3)试估算盒子里黑、白两种颜色的球各有多少只.

18. (1) 0.6 (2) 0.6 (3) 盒子里黑、白两种颜色的球各有 $ 40 - 24 = 16 $ (只)， $ 40 × 0.6 = 24 $ (只)

【解析】
(1) 观察表格数据，当摸球次数$n$很大时，摸到白球的频率稳定在0.6左右，故摸到白球的频率将会接近0.6；
(2) 大量重复试验中，事件发生的频率趋近于概率，因此摸到白球的概率估计值为0.6；
(3) 白球数量：$40×0.6=24$（只），黑球数量：$40-24=16$（只）。
【答案】
(1) $\boldsymbol{0.6}$
(2) $\boldsymbol{0.6}$
(3) 白球24只，黑球16只
【知识点】
用频率估计概率、概率的实际应用
【点评】
本题考查用频率估计概率的核心知识，以及概率在实际场景中的应用，需掌握频率与概率的联系，能运用概率解决简单的实际计数问题。
【难度系数】
0.8

19.（8 分）如图,在△ABC 中,M 是 BC 的中点,AD 平分∠BAC,BD⊥AD,垂足为 D,AB=10,AC=14,求 DM 的长.

2

【解析】
延长BD交AC于点E。
∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠EAD。
∵BD⊥AD，∴∠ADB=∠ADE=90°。
在△ABD和△AED中，
$\{\begin{array}{l}∠BAD=∠EAD\\AD=AD\\∠ADB=∠ADE\end{array} $
∴△ABD≌△AED（ASA）。
∴AB=AE=10，BD=DE。
∵AC=14，∴EC=AC-AE=14-10=4。
∵M是BC的中点，D是BE的中点，
∴DM是△BCE的中位线。
∴DM=$\frac{1}{2}$EC=$\frac{1}{2}$×4=2。
【答案】
2
【知识点】
角平分线性质，全等三角形判定与性质，三角形中位线定理
【点评】
本题通过构造全等三角形实现线段转化，结合三角形中位线定理求解，需熟练掌握全等三角形判定及中位线定理，提升几何线段转化的思维能力。
【难度系数】
0.6

20.（8 分）如图,在梯形 ABCD 中,AD//BC,AC⊥DB,AC=5,∠DBC=30°.
（1）求对角线 BD 的长度；
（2）求梯形 ABCD 的面积.

20. (1) $ 5\sqrt{3} $ (2) $ \dfrac{25\sqrt{3}}{2} $

【解析】
（1）过点$D$作$DE// AC$，交$BC$的延长线于点$E$。
因为$AD// BC$，所以四边形$ACED$是平行四边形，故$DE=AC=5$。
因为$AC⊥ DB$，所以$DE⊥ DB$，即$∠ BDE=90°$。
在$Rt△ BDE$中，$∠ DBC=30°$，由$\tan∠ DBC=\frac{DE}{BD}$，得$BD=\frac{DE}{\tan30°}=\frac{5}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=5\sqrt{3}$。
（2）设$AC$与$BD$交于点$O$，梯形$ABCD$的面积$S_{梯形ABCD}=S_{△ ABD}+S_{△ BCD}$。
因为$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}· AO· BD$，$S_{△ BCD}=\frac{1}{2}· CO· BD$，
所以$S_{梯形ABCD}=\frac{1}{2}· (AO+CO)· BD=\frac{1}{2}· AC· BD$。
代入$AC=5$，$BD=5\sqrt{3}$，得$S_{梯形ABCD}=\frac{1}{2}×5×5\sqrt{3}=\frac{25\sqrt{3}}{2}$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{5\sqrt{3}}$；（2）$\boldsymbol{\dfrac{25\sqrt{3}}{2}}$
【知识点】
梯形的性质，直角三角形边角关系，梯形面积计算
【点评】
本题通过构造平行四边形将梯形问题转化为直角三角形问题，利用平行线性质和三角函数求解，考查梯形与直角三角形的综合应用，作辅助线是解题的关键。
【难度系数】
0.6