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21.（10 分）如图,在菱形 ABCD 中,对角线 AC,BD 交于点 O,点 F 是 CD 的中点,延长 OF 到点 E,使 EF=OF,连接 CE,DE.
（1）求证：四边形 DOCE 是矩形.
（2）若 OE=4,∠ABC=120°,求菱形 ABCD 的面积.
（1）求证：四边形 DOCE 是矩形.
（2）若 OE=4,∠ABC=120°,求菱形 ABCD 的面积.
答案
21. (1) 略 (2) $ 8\sqrt{3} $
解析
【解析】
（1）证明：
∵ 点F是CD的中点，
∴ $CF=DF$，
又
∵ $EF=OF$，
∴ 四边形DOCE是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ $AC⊥BD$，即$∠DOC=90°$，
∴ 平行四边形DOCE是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）。
（2）解：
∵ 四边形DOCE是矩形，
∴ $OE=CD=4$（矩形的对角线相等）。
∵ 四边形ABCD是菱形，$∠ABC=120°$，
∴ $∠BCD=60°$，$BC=CD$，
∴ $△ BCD$是等边三角形，
∴ $BD=CD=4$。
在$Rt△ DOC$中，$CD=4$，$∠OCD=30°$，
∴ $OD=\frac{1}{2}CD=2$，$OC=\sqrt{CD^2 - OD^2}=\sqrt{16-4}=2\sqrt{3}$，
∴ $AC=2OC=4\sqrt{3}$。
∴ 菱形$ABCD$的面积$=\frac{1}{2}×AC×BD=\frac{1}{2}×4\sqrt{3}×4=8\sqrt{3}$。
【答案】
（1）证明见上述解析；（2）$\boldsymbol{8\sqrt{3}}$
【知识点】
菱形的性质，矩形的判定与性质，等边三角形的判定与性质
【点评】
本题综合考查特殊四边形与特殊三角形的性质及判定，需熟练掌握菱形、矩形的性质与判定定理，结合等边三角形的判定及勾股定理求解线段长度，进而计算菱形面积，对几何知识的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
（1）证明：
∵ 点F是CD的中点，
∴ $CF=DF$，
又
∵ $EF=OF$，
∴ 四边形DOCE是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ $AC⊥BD$，即$∠DOC=90°$，
∴ 平行四边形DOCE是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）。
（2）解：
∵ 四边形DOCE是矩形，
∴ $OE=CD=4$（矩形的对角线相等）。
∵ 四边形ABCD是菱形，$∠ABC=120°$，
∴ $∠BCD=60°$，$BC=CD$，
∴ $△ BCD$是等边三角形，
∴ $BD=CD=4$。
在$Rt△ DOC$中，$CD=4$，$∠OCD=30°$，
∴ $OD=\frac{1}{2}CD=2$，$OC=\sqrt{CD^2 - OD^2}=\sqrt{16-4}=2\sqrt{3}$，
∴ $AC=2OC=4\sqrt{3}$。
∴ 菱形$ABCD$的面积$=\frac{1}{2}×AC×BD=\frac{1}{2}×4\sqrt{3}×4=8\sqrt{3}$。
【答案】
（1）证明见上述解析；（2）$\boldsymbol{8\sqrt{3}}$
【知识点】
菱形的性质，矩形的判定与性质，等边三角形的判定与性质
【点评】
本题综合考查特殊四边形与特殊三角形的性质及判定，需熟练掌握菱形、矩形的性质与判定定理，结合等边三角形的判定及勾股定理求解线段长度，进而计算菱形面积，对几何知识的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
22.（10 分）在四边形 ABCD 中,E,F,G,H 分别是 AB,BC,CD,DA 的中点,顺次连接 EF,FG,GH,HE.
（1）请判断四边形 EFGH 的形状,并证明；
（2）试添加一个条件,使四边形 EFGH 是菱形.（写出你添加的条件,不要求证明）
（1）请判断四边形 EFGH 的形状,并证明；
（2）试添加一个条件,使四边形 EFGH 是菱形.（写出你添加的条件,不要求证明）
答案
22. (1) 四边形 $ EFGH $ 的形状是平行四边形. 连接 $ AC $， $ BD $. $ \because E $， $ F $， $ G $， $ H $ 分别是 $ AB $， $ BC $， $ CD $， $ DA $ 的中点， $ \therefore EF // AC $， $ EF = \dfrac{1}{2}AC $， $ HG // AC $， $ HG = \dfrac{1}{2}AC $， $ \therefore EF = HG $， $ EF // HG $， $ \therefore $ 四边形 $ EFGH $ 是平行四边形 (2) 添加的条件是 $ AC = BD $
解析
【解析】
（1）四边形$EFGH$是平行四边形，证明如下：
连接$AC$、$BD$。
$\because E$，$F$，$G$，$H$分别是$AB$，$BC$，$CD$，$DA$的中点，
$\therefore$根据三角形中位线定理，$EF // AC$，$EF = \dfrac{1}{2}AC$，$HG // AC$，$HG = \dfrac{1}{2}AC$，
$\therefore EF = HG$，$EF // HG$，
$\therefore$根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可得四边形$EFGH$是平行四边形。
（2）要使平行四边形$EFGH$是菱形，结合中位线性质，添加$AC=BD$即可（答案不唯一）。
【答案】
（1）四边形$EFGH$是平行四边形，证明见解析；
（2）$AC=BD$（答案不唯一）
【知识点】
三角形中位线定理，平行四边形的判定，菱形的判定
【点评】
本题考查三角形中位线定理与特殊四边形的判定，熟练掌握中位线的性质和特殊四边形的判定定理是解题的关键，添加条件时可结合菱形的判定特征，答案不唯一。
【难度系数】
0.6
（1）四边形$EFGH$是平行四边形，证明如下：
连接$AC$、$BD$。
$\because E$，$F$，$G$，$H$分别是$AB$，$BC$，$CD$，$DA$的中点，
$\therefore$根据三角形中位线定理，$EF // AC$，$EF = \dfrac{1}{2}AC$，$HG // AC$，$HG = \dfrac{1}{2}AC$，
$\therefore EF = HG$，$EF // HG$，
$\therefore$根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可得四边形$EFGH$是平行四边形。
（2）要使平行四边形$EFGH$是菱形，结合中位线性质，添加$AC=BD$即可（答案不唯一）。
【答案】
（1）四边形$EFGH$是平行四边形，证明见解析；
（2）$AC=BD$（答案不唯一）
【知识点】
三角形中位线定理，平行四边形的判定，菱形的判定
【点评】
本题考查三角形中位线定理与特殊四边形的判定，熟练掌握中位线的性质和特殊四边形的判定定理是解题的关键，添加条件时可结合菱形的判定特征，答案不唯一。
【难度系数】
0.6
23.（10 分）如图①,AC 是矩形 ABCD 的对角线.
（1）作 AC 的垂直平分线 MN,MN 交 AD 于点 E,交 BC 于点 F（要求尺规作图,保留作图痕迹,不写作法和证明）.
（2）连接 AF,CE,求证：四边形 AECF 是菱形.
（3）如图②,M 是□ABCD 的边 AD 上一点,请你只用没有刻度的直尺,在边 BC 上画出一点 N,使 CN=AM,并简要说明画图的过程.
（1）作 AC 的垂直平分线 MN,MN 交 AD 于点 E,交 BC 于点 F（要求尺规作图,保留作图痕迹,不写作法和证明）.
（2）连接 AF,CE,求证：四边形 AECF 是菱形.
（3）如图②,M 是□ABCD 的边 AD 上一点,请你只用没有刻度的直尺,在边 BC 上画出一点 N,使 CN=AM,并简要说明画图的过程.
答案
23. (1) 如图① (2) 设 $ AC $ 与 $ EF $ 相交于点 $ O $. $ \because EF $ 是 $ AC $ 的垂直平分线， $ \therefore EF ⊥ AC $，且 $ AO = CO $， $ \therefore ∠ AOE = ∠ COF = 90^{\circ} $. $ \because $ 四边形 $ ABCD $ 为矩形， $ \therefore AD // BC $， $ \therefore ∠ EAO = ∠ FCO $， $ \therefore △ AOE ≌ △ COF(ASA) $， $ \therefore OE = OF $， $ \therefore $ 四边形 $ AECF $ 为平行四边形. 又 $ \because EF ⊥ AC $， $ \therefore □ AECF $ 是菱形 (3) 如图②
解析
【解析】
(1) 按尺规作图要求作出AC的垂直平分线MN，交AD于E，交BC于F，保留作图痕迹；
(2) 设AC与EF相交于点O。
∵ EF是AC的垂直平分线，
∴ EF⊥AC，AO=CO，∠AOE=∠COF=90°。
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AD//BC，
∴ ∠EAO=∠FCO。
在△AOE和△COF中，
$\{\begin{array}{l}∠EAO=∠FCO \\AO=CO \\∠AOE=∠COF\end{array} $
∴ △AOE≌△COF(ASA)，
∴ OE=OF。
∵ AO=CO，
∴ 四边形AECF是平行四边形。
又
∵ EF⊥AC，
∴ □AECF是菱形；
(3) 画图过程：连接AC、BD交于点O，连接MO并延长交BC于点N，点N即为所求。
【答案】
(1) 作图见解析；
(2) 证明见解析；
(3) 连接AC、BD交于点O，连接MO并延长交BC于点N，点N即为所求。
【知识点】
垂直平分线作图，菱形的判定，平行四边形性质
【点评】
本题综合考查尺规作图、特殊四边形的判定与性质，需熟练掌握相关定理，作图规范，证明逻辑严谨。
【难度系数】
0.6
(1) 按尺规作图要求作出AC的垂直平分线MN，交AD于E，交BC于F，保留作图痕迹；
(2) 设AC与EF相交于点O。
∵ EF是AC的垂直平分线，
∴ EF⊥AC，AO=CO，∠AOE=∠COF=90°。
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AD//BC，
∴ ∠EAO=∠FCO。
在△AOE和△COF中，
$\{\begin{array}{l}∠EAO=∠FCO \\AO=CO \\∠AOE=∠COF\end{array} $
∴ △AOE≌△COF(ASA)，
∴ OE=OF。
∵ AO=CO，
∴ 四边形AECF是平行四边形。
又
∵ EF⊥AC，
∴ □AECF是菱形；
(3) 画图过程：连接AC、BD交于点O，连接MO并延长交BC于点N，点N即为所求。
【答案】
(1) 作图见解析；
(2) 证明见解析；
(3) 连接AC、BD交于点O，连接MO并延长交BC于点N，点N即为所求。
【知识点】
垂直平分线作图，菱形的判定，平行四边形性质
【点评】
本题综合考查尺规作图、特殊四边形的判定与性质，需熟练掌握相关定理，作图规范，证明逻辑严谨。
【难度系数】
0.6
