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14. 如图,点 P 是边长为 1 的菱形 ABCD 对角线 AC 上的一个动点,点 M,N 分别是边 AB,BC 上的中点,则 PM+PN 的最小值是
1
.答案
14. 1
解析
【解析】
作点M关于AC的对称点M'，连接M'N，交AC于点P，此时PM+PN的值最小。
因为四边形ABCD是菱形，AC为对角线，所以点M'是AD的中点。
又因为M是AB中点，N是BC中点，AD=BC=1且AD//BC，
所以四边形ABNM'是平行四边形，M'N=AB=1，
故PM+PN的最小值为1。
【答案】
1
【知识点】
菱形的性质；最短路径问题
【点评】
本题考查最短路径问题与菱形性质的综合应用，通过作对称点将折线转化为直线段，利用平行四边形的判定与性质求解，体现了转化思想的运用。
【难度系数】
0.6
作点M关于AC的对称点M'，连接M'N，交AC于点P，此时PM+PN的值最小。
因为四边形ABCD是菱形，AC为对角线，所以点M'是AD的中点。
又因为M是AB中点，N是BC中点，AD=BC=1且AD//BC，
所以四边形ABNM'是平行四边形，M'N=AB=1，
故PM+PN的最小值为1。
【答案】
1
【知识点】
菱形的性质；最短路径问题
【点评】
本题考查最短路径问题与菱形性质的综合应用，通过作对称点将折线转化为直线段，利用平行四边形的判定与性质求解，体现了转化思想的运用。
【难度系数】
0.6
15. 如图,在菱形 ABCD 中,对角线 AC 与 BD 相交于点 O,E,F 分别是 OB,OD 的中点,有下列结论:① 四边形 AECF 是菱形$,② ∠BAE=∠DCF,③ ∠DAF=∠FAO,④ S_{菱形ABCD}=EF·AC,$其中正确结论的是
①②④
(填序号).答案
15. ①②④
解析
【解析】
1. 分析结论①：
因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，AO=OC，BO=OD。
又E、F分别是OB、OD的中点，故OE=1/2OB，OF=1/2OD，得OE=OF。
因为AO=OC，AC⊥EF，所以四边形AECF的对角线互相垂直且平分，故四边形AECF是菱形，①正确。
2. 分析结论②：
菱形ABCD中，AB=CD，AB//CD，∠ABE=∠CDF。
由E、F为中点，得BE=DF，结合AB=CD，可证△ABE≌△CDF（SAS），故∠BAE=∠DCF，②正确。
3. 分析结论③：
假设∠DAF=∠FAO，则AF平分∠DAO，但菱形中AD≠AO（除非为正方形），无法推出该角相等，故③错误。
4. 分析结论④：
菱形面积公式为$ S_{菱形ABCD}=\frac{1}{2}AC·BD $，
因为EF=OE+OF=$\frac{1}{2}OB+\frac{1}{2}OD=\frac{1}{2}BD$，
所以$ EF·AC=\frac{1}{2}BD·AC $，与菱形面积相等，故④正确。
综上，正确结论是①②④。
【答案】
①②④
【知识点】
菱形的性质与判定、全等三角形判定与性质、菱形面积公式
【点评】
本题考查菱形的性质与判定的综合应用，需熟练掌握菱形的对角线性质、全等三角形的判定，同时注意区分菱形与正方形的特殊情况，避免误判结论。
【难度系数】
0.6
1. 分析结论①：
因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，AO=OC，BO=OD。
又E、F分别是OB、OD的中点，故OE=1/2OB，OF=1/2OD，得OE=OF。
因为AO=OC，AC⊥EF，所以四边形AECF的对角线互相垂直且平分，故四边形AECF是菱形，①正确。
2. 分析结论②：
菱形ABCD中，AB=CD，AB//CD，∠ABE=∠CDF。
由E、F为中点，得BE=DF，结合AB=CD，可证△ABE≌△CDF（SAS），故∠BAE=∠DCF，②正确。
3. 分析结论③：
假设∠DAF=∠FAO，则AF平分∠DAO，但菱形中AD≠AO（除非为正方形），无法推出该角相等，故③错误。
4. 分析结论④：
菱形面积公式为$ S_{菱形ABCD}=\frac{1}{2}AC·BD $，
因为EF=OE+OF=$\frac{1}{2}OB+\frac{1}{2}OD=\frac{1}{2}BD$，
所以$ EF·AC=\frac{1}{2}BD·AC $，与菱形面积相等，故④正确。
综上，正确结论是①②④。
【答案】
①②④
【知识点】
菱形的性质与判定、全等三角形判定与性质、菱形面积公式
【点评】
本题考查菱形的性质与判定的综合应用，需熟练掌握菱形的对角线性质、全等三角形的判定，同时注意区分菱形与正方形的特殊情况，避免误判结论。
【难度系数】
0.6
16. 如图,在正方形 ABCD 中,点 E 是边 CD 的中点,连接 AE,过点 B 作 BF⊥AE 于点 F,且 BF=2AF,AD=2$\sqrt{5}$. 点 M,N 分别是 BD,BF 的中点,连接 MN,DF,则 MN 的长为
$ \sqrt{2} $
.答案
16. $ \sqrt{2} $
解析
【解析】
设AF=x，则BF=2x。
在Rt△ABF中，AB=AD=2√5，由勾股定理得：
$AB^2=AF^2+BF^2$，即$(2\sqrt{5})^2=x^2+(2x)^2$，
解得$x=2$（$x＞0$），故AF=2，BF=4。
以点B为原点建立平面直角坐标系：
$B(0,0)$，$A(0,2\sqrt{5})$，$D(2\sqrt{5},2\sqrt{5})$，$C(2\sqrt{5},0)$，
∵E是CD中点，
∴$E(2\sqrt{5},\sqrt{5})$。
直线AE的解析式为$y=-\frac{1}{2}x+2\sqrt{5}$，
∵BF⊥AE，直线BF的解析式为$y=2x$，
联立两直线方程，解得$F(\frac{4\sqrt{5}}{5},\frac{8\sqrt{5}}{5})$。
∵M是BD中点，BD端点为$B(0,0)$、$D(2\sqrt{5},2\sqrt{5})$，
∴$M(\sqrt{5},\sqrt{5})$；
∵N是BF中点，BF端点为$B(0,0)$、$F(\frac{4\sqrt{5}}{5},\frac{8\sqrt{5}}{5})$，
∴$N(\frac{2\sqrt{5}}{5},\frac{4\sqrt{5}}{5})$。
由两点间距离公式得：
$MN=\sqrt{(\sqrt{5}-\frac{2\sqrt{5}}{5})^2+(\sqrt{5}-\frac{4\sqrt{5}}{5})^2}=\sqrt{(\frac{3\sqrt{5}}{5})^2+(\frac{\sqrt{5}}{5})^2}=\sqrt{2}$。
【答案】
$\sqrt{2}$
【知识点】
正方形的性质，勾股定理，中点坐标公式
【点评】
本题结合正方形性质与平面直角坐标系，利用勾股定理求线段长，通过坐标法简化中点与线段长度的计算，综合性较强，需熟练掌握几何性质与代数方法的融合运用。
【难度系数】
0.4
设AF=x，则BF=2x。
在Rt△ABF中，AB=AD=2√5，由勾股定理得：
$AB^2=AF^2+BF^2$，即$(2\sqrt{5})^2=x^2+(2x)^2$，
解得$x=2$（$x＞0$），故AF=2，BF=4。
以点B为原点建立平面直角坐标系：
$B(0,0)$，$A(0,2\sqrt{5})$，$D(2\sqrt{5},2\sqrt{5})$，$C(2\sqrt{5},0)$，
∵E是CD中点，
∴$E(2\sqrt{5},\sqrt{5})$。
直线AE的解析式为$y=-\frac{1}{2}x+2\sqrt{5}$，
∵BF⊥AE，直线BF的解析式为$y=2x$，
联立两直线方程，解得$F(\frac{4\sqrt{5}}{5},\frac{8\sqrt{5}}{5})$。
∵M是BD中点，BD端点为$B(0,0)$、$D(2\sqrt{5},2\sqrt{5})$，
∴$M(\sqrt{5},\sqrt{5})$；
∵N是BF中点，BF端点为$B(0,0)$、$F(\frac{4\sqrt{5}}{5},\frac{8\sqrt{5}}{5})$，
∴$N(\frac{2\sqrt{5}}{5},\frac{4\sqrt{5}}{5})$。
由两点间距离公式得：
$MN=\sqrt{(\sqrt{5}-\frac{2\sqrt{5}}{5})^2+(\sqrt{5}-\frac{4\sqrt{5}}{5})^2}=\sqrt{(\frac{3\sqrt{5}}{5})^2+(\frac{\sqrt{5}}{5})^2}=\sqrt{2}$。
【答案】
$\sqrt{2}$
【知识点】
正方形的性质，勾股定理，中点坐标公式
【点评】
本题结合正方形性质与平面直角坐标系，利用勾股定理求线段长，通过坐标法简化中点与线段长度的计算，综合性较强，需熟练掌握几何性质与代数方法的融合运用。
【难度系数】
0.4
三、解答题(共 86 分)
17.(8 分)6 月 5 日是世界环境日. 为增强学生的环保意识,某学校开展了“低碳生活,绿色相伴”为主题的环保知识竞赛. 为了解该校七年级学生对环保知识的掌握情况,调查小组从该校七年级随机抽取部分学生的测试成绩(百分制,单位：分)进行了整理、描述和分析. 下面给出了部分信息：
请根据图表中提供的信息,解答下列问题：
(1)本次调研,从该校七年级随机抽取
(2)表中 a=
(3)补全频数分布直方图；
(4)已知该校七年级学生共计 300 人,如果测试成绩不低于 80 分为优秀,请你根据调查结果,估计该校七年级学生测试成绩达到优秀的有
17.(8 分)6 月 5 日是世界环境日. 为增强学生的环保意识,某学校开展了“低碳生活,绿色相伴”为主题的环保知识竞赛. 为了解该校七年级学生对环保知识的掌握情况,调查小组从该校七年级随机抽取部分学生的测试成绩(百分制,单位：分)进行了整理、描述和分析. 下面给出了部分信息：
请根据图表中提供的信息,解答下列问题：
(1)本次调研,从该校七年级随机抽取
40
名学生进行调查；(2)表中 a=
2
,b=10
,第 3 组所对应的扇形的圆心角的度数是90
°；(3)补全频数分布直方图；
(4)已知该校七年级学生共计 300 人,如果测试成绩不低于 80 分为优秀,请你根据调查结果,估计该校七年级学生测试成绩达到优秀的有
165
人.答案
17. (1) 40 (2) 2 10 90 (3) 图略 (4) 165
解析
【解析】
(1) 根据第2组频数8和频率0.20，计算抽取学生总数：$8÷0.20=40$（名）；
(2) 计算$a$：$40-4-8-10-16=2$；计算$b$：$\frac{2}{40}×100=10$；第3组对应扇形圆心角：$360°×\frac{10}{40}=90°$；
(3) 根据$a=2$，补全第1组的频数分布直方图（图略）；
(4) 成绩不低于80分的学生频数为$10+16=26$，优秀率为$\frac{26}{40}$，估计该校七年级优秀人数：$300×\frac{26}{40}=165$（人）。
【答案】
(1) $\boldsymbol{40}$
(2) $\boldsymbol{2}$，$\boldsymbol{10}$，$\boldsymbol{90}$
(3) 图略
(4) $\boldsymbol{165}$
【知识点】
频数分布直方图，扇形统计图，用样本估计总体
【点评】
本题考查统计核心知识，涵盖频数、频率、扇形圆心角计算及用样本估计总体的应用，着重考查数据整理与分析能力，属于基础应用型题目。
【难度系数】
0.8
(1) 根据第2组频数8和频率0.20，计算抽取学生总数：$8÷0.20=40$（名）；
(2) 计算$a$：$40-4-8-10-16=2$；计算$b$：$\frac{2}{40}×100=10$；第3组对应扇形圆心角：$360°×\frac{10}{40}=90°$；
(3) 根据$a=2$，补全第1组的频数分布直方图（图略）；
(4) 成绩不低于80分的学生频数为$10+16=26$，优秀率为$\frac{26}{40}$，估计该校七年级优秀人数：$300×\frac{26}{40}=165$（人）。
【答案】
(1) $\boldsymbol{40}$
(2) $\boldsymbol{2}$，$\boldsymbol{10}$，$\boldsymbol{90}$
(3) 图略
(4) $\boldsymbol{165}$
【知识点】
频数分布直方图，扇形统计图，用样本估计总体
【点评】
本题考查统计核心知识，涵盖频数、频率、扇形圆心角计算及用样本估计总体的应用，着重考查数据整理与分析能力，属于基础应用型题目。
【难度系数】
0.8
