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例 1 如图 8.4.1，在梯形 $ABCD$ 中，$AD// BC$，$AB = CD$。$∠ B$ 与 $∠ C$ 相等吗？请说明理由。
答案
解：∠B与∠C相等，理由如下：
过点D作DE//AB，交BC于点E。
∵AD//BC，DE//AB，
∴四边形ABED是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），
∴AB=DE（平行四边形的对边相等）。
又∵AB=CD，
∴DE=CD，
∴∠DEC=∠C（等边对等角）。
∵DE//AB，
∴∠B=∠DEC（两直线平行，同位角相等），
∴∠B=∠C。
过点D作DE//AB，交BC于点E。
∵AD//BC，DE//AB，
∴四边形ABED是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），
∴AB=DE（平行四边形的对边相等）。
又∵AB=CD，
∴DE=CD，
∴∠DEC=∠C（等边对等角）。
∵DE//AB，
∴∠B=∠DEC（两直线平行，同位角相等），
∴∠B=∠C。
例 2 如图 8.4.2，在 $△ ABC$ 中，$D$，$E$，$F$ 分别是各边的中点，$AH$ 是高，连接 $DH$，$EF$，$DF$。求证：四边形 $EFDH$ 是等腰梯形。
答案
证明：
∵ D，E，F分别是△ABC各边的中点，
∴ DF是△ABC的中位线，EF是△ABC的中位线，
∴ DF//BC，EF//AB，且$EF = \frac{1}{2}AB$。
∵ AH⊥BC，D是AB的中点，
∴ 在Rt△ABH中，DH为斜边AB的中线，
∴ $DH = \frac{1}{2}AB$，
∴ DH = EF。
∵ DF//HE，且EF与DH不平行，
∴ 四边形EFDH是梯形，
又∵ DH = EF，
∴ 四边形EFDH是等腰梯形。
∵ D，E，F分别是△ABC各边的中点，
∴ DF是△ABC的中位线，EF是△ABC的中位线，
∴ DF//BC，EF//AB，且$EF = \frac{1}{2}AB$。
∵ AH⊥BC，D是AB的中点，
∴ 在Rt△ABH中，DH为斜边AB的中线，
∴ $DH = \frac{1}{2}AB$，
∴ DH = EF。
∵ DF//HE，且EF与DH不平行，
∴ 四边形EFDH是梯形，
又∵ DH = EF，
∴ 四边形EFDH是等腰梯形。
1. 下列图形一定是轴对称图形的是()
A.直角三角形
B.平行四边形
C.直角梯形
D.等腰梯形
A.直角三角形
B.平行四边形
C.直角梯形
D.等腰梯形
答案
D
解析
依次分析各选项：
1. 选项A：只有等腰直角三角形是轴对称图形，普通直角三角形不是，故不一定是轴对称图形；
2. 选项B：一般平行四边形不是轴对称图形，仅特殊平行四边形（如矩形、菱形）是，故不一定是轴对称图形；
3. 选项C：直角梯形无对称轴，不是轴对称图形；
4. 选项D：等腰梯形是轴对称图形，对称轴为经过两底中点的直线，符合题意。
1. 选项A：只有等腰直角三角形是轴对称图形，普通直角三角形不是，故不一定是轴对称图形；
2. 选项B：一般平行四边形不是轴对称图形，仅特殊平行四边形（如矩形、菱形）是，故不一定是轴对称图形；
3. 选项C：直角梯形无对称轴，不是轴对称图形；
4. 选项D：等腰梯形是轴对称图形，对称轴为经过两底中点的直线，符合题意。
2. 顺次连接等腰梯形的各边中点，所得的四边形一定是()
A.矩形
B.菱形
C.正方形
D.梯形
A.矩形
B.菱形
C.正方形
D.梯形
答案
B
解析
1. 设等腰梯形ABCD，AD//BC，AB=CD，取AB、BC、CD、DA的中点分别为E、F、G、H，连接AC、BD；2. 根据三角形中位线定理，EF//AC且EF=1/2AC，GH//AC且GH=1/2AC，故EF//GH且EF=GH，四边形EFGH是平行四边形；3. 同理EH=1/2BD，由等腰梯形对角线相等得AC=BD，故EH=EF；4. 邻边相等的平行四边形是菱形，因此所得四边形为菱形。
二、填空题
3. 如图，在梯形 $ABCD$ 中，$AD// BC$，对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$。若 $△ AOB$ 的面积为 $6\mathrm{cm}^2$，则 $△ COD$ 的面积为$\mathrm{cm}^2$。
3. 如图，在梯形 $ABCD$ 中，$AD// BC$，对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$。若 $△ AOB$ 的面积为 $6\mathrm{cm}^2$，则 $△ COD$ 的面积为$\mathrm{cm}^2$。
答案
解：
∵$AD// BC$，
∴$S_{△ ABD}=S_{△ ACD}$（同底等高的两个三角形面积相等），
∴$S_{△ ABD}-S_{△ AOD}=S_{△ ACD}-S_{△ AOD}$，
即$S_{△ AOB}=S_{△ COD}$，
∵$S_{△ AOB}=6\mathrm{cm}^2$，
∴$S_{△ COD}=6\mathrm{cm}^2$。
∵$AD// BC$，
∴$S_{△ ABD}=S_{△ ACD}$（同底等高的两个三角形面积相等），
∴$S_{△ ABD}-S_{△ AOD}=S_{△ ACD}-S_{△ AOD}$，
即$S_{△ AOB}=S_{△ COD}$，
∵$S_{△ AOB}=6\mathrm{cm}^2$，
∴$S_{△ COD}=6\mathrm{cm}^2$。
4. 如图，在梯形 $ABCD$ 中，$AD// BC$，$AD = 2$，过点 $A$ 作 $AE// DC$，交 $BC$ 于点 $E$。若 $AE$ 平分 $∠ BAD$，$AB = 3$，则 $BC$ 的长为。
答案
5
解析
1. 由$AD// BC$，$AE// DC$，可得四边形$AECD$是平行四边形，因此$AD=EC=2$。
2. 因为$AE$平分$∠ BAD$，所以$∠ BAE=∠ DAE$；又$AD// BC$，则$∠ DAE=∠ AEB$，故$∠ BAE=∠ AEB$，所以$AB=BE=3$。
3. 因此$BC=BE+EC=3+2=5$。
2. 因为$AE$平分$∠ BAD$，所以$∠ BAE=∠ DAE$；又$AD// BC$，则$∠ DAE=∠ AEB$，故$∠ BAE=∠ AEB$，所以$AB=BE=3$。
3. 因此$BC=BE+EC=3+2=5$。
