三、解答题
5. 如图，在梯形 $ABCD$ 中，$AD// BC$，$∠ B = 90°$。若 $AD = 5$，$BC = 10$，$CD = 13$，求 $AB$ 的长。

解：过点D作DE⊥BC于点E，
∵AD//BC，∠B=90°，DE⊥BC，
∴四边形ABED是矩形，
∴BE=AD=5，AB=DE，
∵BC=10，
∴EC=BC-BE=10-5=5，
在Rt△DEC中，由勾股定理得：
$DE=\sqrt{CD^2-EC^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12$，
∴AB=DE=12。

6. 如图，在梯形 $ABCD$ 中，$AD// BC$，$AB = DC = 10$，$AD = 8$，$BC = 20$。求梯形 $ABCD$ 的面积。

解：过点A作$AE ⊥ BC$于点E，过点D作$DF ⊥ BC$于点F。
因为$AD// BC$，$AE ⊥ BC$，$DF ⊥ BC$，
所以四边形$AEFD$是矩形，故$EF=AD=8$，$AE=DF$。
又因为$AB=DC=10$，$∠ AEB=∠ DFC=90°$，
所以$\mathrm{Rt}△ ABE ≌ \mathrm{Rt}△ DCF$（HL），
所以$BE=FC=\frac{BC-EF}{2}=\frac{20-8}{2}=6$。
在$\mathrm{Rt}△ ABE$中，由勾股定理得：
$AE=\sqrt{AB^2-BE^2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{64}=8$。
所以梯形$ABCD$的面积$=\frac{(AD+BC)× AE}{2}=\frac{(8+20)×8}{2}=112$。
答：梯形$ABCD$的面积为112。

7. 如图，在 $□ ABCD$ 中，点 $E$ 在 $BC$ 的延长线上，连接 $DE$，$DE = DC$。求证：四边形 $ABED$ 是等腰梯形。

证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD//BC，AB = CD，AB//CD。
∵ 点E在BC的延长线上，
∴ AD//BE。
∵ AB//CD，若AB//DE，则CD//DE，与CD和DE相交于点D矛盾，
∴ AB与DE不平行，
∴ 四边形ABED是梯形。
∵ DE = DC，
∴ AB = DE，
∴ 四边形ABED是等腰梯形。

8. 如图，在梯形 $ABCD$ 中，$AD// BC$，$AD = DC = \frac{1}{2}BC$，$E$ 是 $BC$ 的中点。下面是甲、乙两名学生得到的结论：
甲：若连接 $AE$，则四边形 $ADCE$ 是菱形。
乙：若连接 $AC$，则 $△ ABC$ 是直角三角形。
请选择一名学生的结论给予证明。

选择甲的结论证明：
证明：
连接AE，
∵E是BC的中点，
∴EC = $\frac{1}{2}BC$，
∵AD = $\frac{1}{2}BC$，
∴AD = EC，
又∵AD//BC，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∵AD = DC，
∴平行四边形ADCE是菱形。
---
选择乙的结论证明：
证明：
连接AC、AE，
∵E是BC的中点，
∴BE = EC = $\frac{1}{2}BC$，
∵AD = $\frac{1}{2}BC$，AD//BC，
∴AD = EC，AD//EC，
∴四边形ADCE是平行四边形，
又∵AD = DC，
∴平行四边形ADCE是菱形，
∴AE = EC = BE，
∴∠EAB = ∠EBA，∠EAC = ∠ECA，
∵∠EAB + ∠EBA + ∠EAC + ∠ECA = 180°，
∴2(∠EAB + ∠EAC) = 180°，
即∠BAC = 90°，
∴△ABC是直角三角形。