例1 如图8.2.5，在菱形ABCD中，∠B与∠BAD的度数之比为1:2，周长为16.
（1）求菱形ABCD的对角线AC的长；
（2）求菱形ABCD的面积.

解：
（1）∵菱形ABCD的周长为16，
∴AB=BC=CD=DA=16÷4=4.
∵∠B+∠BAD=180°，且∠B:∠BAD=1:2，
设∠B=x，则∠BAD=2x，
x+2x=180°，解得x=60°，即∠B=60°.
又∵AB=BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC=AB=4.
（2）设AC与BD相交于点O，
∵菱形的对角线互相垂直平分，
∴AC⊥BD，$AO=\frac{1}{2}AC=2$，$BO=\frac{1}{2}BD$.
在Rt△ABO中，由勾股定理得：
$BO=\sqrt{AB^2 - AO^2}=\sqrt{4^2 - 2^2}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，
∴BD=2BO=$4\sqrt{3}$.
∴菱形ABCD的面积$=\frac{1}{2}×AC×BD=\frac{1}{2}×4×4\sqrt{3}=8\sqrt{3}$.
答：（1）对角线AC的长为4；（2）菱形ABCD的面积为$8\sqrt{3}$.

例2 如图8.2.6，O是菱形ABCD对角线的交点，DE//AC，CE//BD，直线DE与直线CE相交于点E，连接OE.求证：OE=BC.

证明：
∵ DE//AC，CE//BD，
∴ 四边形OCED是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）。
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AC⊥BD，BC=CD（菱形的对角线互相垂直，菱形的四条边相等），
∴ ∠COD=90°，
∴ 平行四边形OCED是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形），
∴ OE=CD（矩形的对角线相等），
又∵ BC=CD，
∴ OE=BC。

1. 如图，在菱形ABCD中，连接AC，BD.若∠1=20°，则∠2的度数为()

A.50°
B.60°
C.70°
D.80°

C

∵四边形ABCD是菱形，∴AC平分∠BAD，菱形邻角互补，BD平分∠ADC。
∵∠1=20°，∴∠BAD=2×20°=40°。
∴∠ADC=180°-40°=140°。
∴∠2=1/2∠ADC=70°。

2. 如图，四边形ABCD是菱形，其中点A，B的坐标分别为(0，3)，(4，0)，点D在y轴上，则点C的坐标为()

A.(4，-5)
B.(4，-4)
C.(4，-3)
D.(4，-2)

A

1. 由点A(0，3)、B(4，0)，得OA=3，OB=4，根据勾股定理，AB=√(3²+4²)=5；
2. 因为四边形ABCD是菱形，所以AD=AB=5，点D在y轴上，故D的坐标为(0，3-5)=(0，-2)；
3. 菱形中AB平行且等于CD，结合坐标平移规律，可得点C的坐标为(4，-5)。