例 1 如图 8.1.7，在$□ ABCD$中，对角线$AC$，$BD$相交于点$O$，$E$，$G$分别是$OA$，$OC$的中点，$F$，$H$分别是$OB$，$OD$上靠近点$O$的三等分点.连接$EF$，$FG$，$GH$，$HE$.
求证：四边形$EFGH$是平行四边形.

证明：
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，
∴ $OA=OC$，$OB=OD$（平行四边形的对角线互相平分）。
∵ $E$是$OA$的中点，$G$是$OC$的中点，
∴ $OE=\frac{1}{2}OA$，$OG=\frac{1}{2}OC$，
∴ $OE=OG$。
∵ $F$是$OB$上靠近点$O$的三等分点，$H$是$OD$上靠近点$O$的三等分点，
∴ $OF=\frac{1}{3}OB$，$OH=\frac{1}{3}OD$，
∴ $OF=OH$。
∴ 四边形$EFGH$是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。

例 2 如图 8.1.8，$AC$是$□ ABCD$的一条对角线，$BM⊥ AC$，$DN⊥ AC$，垂足分别为$M$，$N$.四边形$BMDN$是平行四边形吗？为什么？

解：四边形$BMDN$是平行四边形，理由如下：
$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形，
$\therefore AD=BC$，$AD// BC$，
$\therefore ∠ DAN=∠ BCM$。
$\because BM⊥ AC$，$DN⊥ AC$，
$\therefore ∠ DNA=∠ BMC=90°$，$DN// BM$。
在$△ DNA$和$△ BMC$中，
$\begin{cases}∠ DNA=∠ BMC \\∠ DAN=∠ BCM \\AD=BC\end{cases}$
$\therefore △ DNA≌△ BMC(AAS)$，
$\therefore DN=BM$。
又$\because DN// BM$，
$\therefore$ 四边形$BMDN$是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。

1. 在四边形$ABCD$中，对角线$AC$，$BD$相交于点$O$.下列条件不能判定四边形$ABCD$是平行四边形的是()

A.$AB// CD$，$AD// BC$
B.$AB = CD$，$AD = BC$
C.$AO = CO$，$BO = DO$
D.$AB// CD$，$AD = BC$

D

根据平行四边形的判定定理：
选项A：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可判定；
选项B：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可判定；
选项C：对角线互相平分的四边形是平行四边形，可判定；
选项D：一组对边平行、另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，无法判定为平行四边形。
因此该条件不能判定四边形ABCD是平行四边形。