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2. 如图，在$□ ABCD$中，对角线$AC$，$BD$相交于点$O$，$E$是$BC$的中点，则图中与$△ ABE$面积相等的三角形个数为()
A.5
B.4
C.3
D.2
A.5
B.4
C.3
D.2
答案
A
解析
1. 设平行四边形$ABCD$的面积为$S$，$E$是$BC$中点，故$BE=EC$，则$S_{△ ABE}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}S=\frac{1}{4}S$。
2. 分析其他三角形面积：
$△ AEC$与$△ ABE$等底等高，$S_{△ AEC}=\frac{1}{4}S$；
平行四边形对角线互相平分，故$△ AOB$、$△ BOC$、$△ COD$、$△ AOD$的面积均为$\frac{1}{4}S$。
3. 综上，与$△ ABE$面积相等的三角形共5个。
2. 分析其他三角形面积：
$△ AEC$与$△ ABE$等底等高，$S_{△ AEC}=\frac{1}{4}S$；
平行四边形对角线互相平分，故$△ AOB$、$△ BOC$、$△ COD$、$△ AOD$的面积均为$\frac{1}{4}S$。
3. 综上，与$△ ABE$面积相等的三角形共5个。
二、填空题
3. 已知$□ ABCD$的周长为 24，对角线$AC$，$BD$相交于点$O$，$△ AOB$的周长比$△ BOC$的周长小 4，则$AB$，$BC$的长分别为.
3. 已知$□ ABCD$的周长为 24，对角线$AC$，$BD$相交于点$O$，$△ AOB$的周长比$△ BOC$的周长小 4，则$AB$，$BC$的长分别为.
答案
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，AO=CO，
∵□ABCD的周长为24，
∴2(AB+BC)=24，即AB+BC=12①，
∵△AOB的周长比△BOC的周长小4，
∴(BC+BO+CO)-(AB+AO+BO)=4，
又∵AO=CO，
∴BC-AB=4②，
联立①②，解得：
AB=4，BC=8。
答：AB的长为4，BC的长为8。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，AO=CO，
∵□ABCD的周长为24，
∴2(AB+BC)=24，即AB+BC=12①，
∵△AOB的周长比△BOC的周长小4，
∴(BC+BO+CO)-(AB+AO+BO)=4，
又∵AO=CO，
∴BC-AB=4②，
联立①②，解得：
AB=4，BC=8。
答：AB的长为4，BC的长为8。
4. 如图，四边形$OABC$为平行四边形，点$A$的坐标为$(2,1)$，点$B$的坐标为$(4,3)$，则点$C$的坐标为.
答案
$(2,2)$
解析
因为四边形$OABC$是平行四边形，所以$\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{AB}$。已知点$A(2,1)$，点$B(4,3)$，则$\overrightarrow{AB}$的坐标为$(4-2,3-1)=(2,2)$。又因为点$O$坐标为$(0,0)$，所以点$C$的坐标为$(0+2,0+2)=(2,2)$。
三、解答题
5. 如图，在$□ ABCD$中，对角线$AC$，$BD$相交于点$O$，延长$OA$至点$E$，延长$OC$至点$F$，使得$CF = AE$，连接$BE$，$DE$，$BF$，$DF$.四边形$BEDF$是平行四边形吗？为什么？
5. 如图，在$□ ABCD$中，对角线$AC$，$BD$相交于点$O$，延长$OA$至点$E$，延长$OC$至点$F$，使得$CF = AE$，连接$BE$，$DE$，$BF$，$DF$.四边形$BEDF$是平行四边形吗？为什么？
答案
解：四边形$BEDF$是平行四边形，理由如下：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$OB=OD$，$OA=OC$（平行四边形的对角线互相平分）。
∵$CF=AE$，
∴$OA+AE=OC+CF$，即$OE=OF$。
又∵$OB=OD$，
∴四边形$BEDF$是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$OB=OD$，$OA=OC$（平行四边形的对角线互相平分）。
∵$CF=AE$，
∴$OA+AE=OC+CF$，即$OE=OF$。
又∵$OB=OD$，
∴四边形$BEDF$是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。
6. 如图，在四边形$ABCD$中，对角线$AC$，$BD$相交于点$O$，$O$是$AC$的中点，$AD// BC$，$AC = 8$，$BD = 6$.
（1）求证：四边形$ABCD$是平行四边形.
（2）若$AC⊥ BD$，求四边形$ABCD$的面积.
（1）求证：四边形$ABCD$是平行四边形.
（2）若$AC⊥ BD$，求四边形$ABCD$的面积.
答案
（1）证明：
∵O是AC的中点，
∴OA = OC．
∵AD//BC，
∴∠OAD = ∠OCB．
在△AOD和△COB中，
$\{\begin{array}{l}∠OAD = ∠OCB\\OA = OC\\∠AOD = ∠COB\end{array} $
∴△AOD≌△COB（ASA），
∴OD = OB．
又∵OA = OC，
∴四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）．
（2）解：
∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴$S_{四边形ABCD}=\frac{1}{2}×AC×BD=\frac{1}{2}×8×6=24$．
∵O是AC的中点，
∴OA = OC．
∵AD//BC，
∴∠OAD = ∠OCB．
在△AOD和△COB中，
$\{\begin{array}{l}∠OAD = ∠OCB\\OA = OC\\∠AOD = ∠COB\end{array} $
∴△AOD≌△COB（ASA），
∴OD = OB．
又∵OA = OC，
∴四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）．
（2）解：
∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴$S_{四边形ABCD}=\frac{1}{2}×AC×BD=\frac{1}{2}×8×6=24$．
