6. 下列计算正确的是()

A.$(2a^2)^3=6a^6$
B.$a^3-a^2=a$
C.$a^3· a^4=a^{12}$
D.$a^4÷ a^3=a$

D

对于选项A，根据幂的乘方运算法则 $(a^m)^n = a^{mn}$ 和积的乘方运算法则 $(ab)^n=a^nb^n$，可得$(2a^2)^3 = 2^3×(a^2)^3=8a^6≠6a^6$；
对于选项B，$a^3$与$a^2$不是同类项，不能合并，所以$a^3 - a^2≠ a$；
对于选项C，根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加的运算法则 $a^m· a^n = a^{m + n}$，可得$a^3· a^4 = a^{3 + 4}=a^7≠ a^{12}$；
对于选项D，根据同底数幂相除，底数不变，指数相减的运算法则 $a^m÷ a^n = a^{m - n}(a≠0)$，可得$a^4÷ a^3 = a^{4 - 3}=a$。

7. 《孙子算经》中有一道题,原文:今有木,不知长短.引绳度之,余绳四尺五寸;屈绳量之,不足一尺.木长几何? 意思:用一根绳子去量一根长木,绳子还剩余$4.5$尺;将绳子对折再量长木,长木还剩余$1$尺.木长多少尺? 设木长$x$尺,绳长$y$尺,根据题意列方程组得()

A.$\begin{cases}x-y=4.5,\\\dfrac{1}{2}y=x-1\end{cases}$

B.$\begin{cases}x-y=4.5,\\\dfrac{1}{2}y=x+1\end{cases}$
C.$\begin{cases}y-x=4.5,\\\dfrac{1}{2}y=x-1\end{cases}$
D.$\begin{cases}y-x=4.5,\\\dfrac{1}{2}y=x+1\end{cases}$

C

设木长$x$尺，绳长$y$尺。
根据“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺”可得：
$y - x = 4.5$。
根据“将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺”可得：
$\frac{1}{2}y = x - 1$。
将这两个方程组合起来，得到方程组：
$\begin{cases}y - x = 4.5, \frac{1}{2}y = x - 1.\end{cases}$
与选项对比，可以看出正确答案是C。

8. 如图,建筑物$AB$和旗杆$CD$的水平距离$BC$为$6\ \mathrm{m}$,在建筑物的顶端$A$测得旗杆顶部$D$的仰角$∠ DAE$为$45^{\circ}$,旗杆底部$C$的俯角$∠ CAE$为$30^{\circ}$,则旗杆$CD$的高度为()


A.$2\sqrt{2}\ \mathrm{m}$
B.$2\sqrt{3}\ \mathrm{m}$
C.$(2\sqrt{2}+6)\ \mathrm{m}$
D.$(2\sqrt{3}+6)\ \mathrm{m}$

D

过点$A$作$AE⊥ CD$于点$E$。
在$Rt△ ACE$中，因为$∠ CAE = 30^{\circ}$，$AE = BC = 6m$，
根据正切函数的定义$\tan∠ CAE=\frac{CE}{AE}$，
则$CE = AE×\tan∠ CAE = 6×\tan30^{\circ}=6×\frac{\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}m$。
在$Rt△ ADE$中，$∠ DAE = 45^{\circ}$，
所以$△ ADE$是等腰直角三角形，则$DE = AE = 6m$。
那么$CD=CE + DE=(2\sqrt{3}+6)m$。

9. 如图,在等边三角形$ABC$中,$D$为边$BC$上一点,$E$为边$AC$上一点,且$∠ ADE=60^{\circ}$,若$BD=4$,$CE=2$,则$△ CDE$的面积为()


A.$2\sqrt{3}$
B.$3\sqrt{3}$
C.$4\sqrt{3}$
D.$6\sqrt{3}$

A

设等边△ABC的边长为x，则BC=AB=AC=x。
∵BD=4，∴DC=x-4；∵CE=2，∴AE=x-2。
∵∠ADE=60°，∠B=∠C=60°，
∴∠ADB+∠EDC=180°-∠ADE=120°，∠BAD+∠ADB=180°-∠B=120°，
∴∠BAD=∠EDC。
又∠B=∠C=60°，∴△ABD∽△DCE（AA）。
由相似得：AB/DC=BD/CE，即x/(x-4)=4/2=2，解得x=8。
∴DC=8-4=4，CE=2，∠C=60°。
△CDE面积=1/2·DC·CE·sin60°=1/2×4×2×(√3/2)=2√3。