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9. （2025·云南）如图，在$△ ABC$中，$∠ ABC = 90°$，$O$是$AC$的中点. 延长$BO$至点$D$，使$OD = OB$. 连接$AD$，$CD$. 记$AB = a$，$BC = b$，$△ AOB$的周长为$l_1$，$△ BOC$的周长为$l_2$，四边形$ABCD$的周长为$l_3$.
（1）求证：四边形$ABCD$是矩形.
（2）若$l_2 - l_1 = 2$，$l_3 = 28$，求$AC$的长.
（1）求证：四边形$ABCD$是矩形.
（2）若$l_2 - l_1 = 2$，$l_3 = 28$，求$AC$的长.
答案
9. (1)证明:
∵O是AC的中点,
∴OA=OC.
∵OB=OD,
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵∠ABC=90°,
∴平行四边形ABCD是矩形.
(2)解:
∵记AB=a,BC=b,△AOB的周长为l₁,△BOC的周长为l₂,四边形ABCD的周长为l₃,
∴l₂−l₁=BC−AB=b−a=2,l₃=2(AB+BC)=2(a+b)=28,
∴$\begin{cases}b−a=2\\b+a=14\end{cases}$,
∴$\begin{cases}a=6\\b=8\end{cases}$,
∴AB=6,BC=8,
∴AC=$\sqrt{AB^{2}+BC^{2}}$=10.
∵O是AC的中点,
∴OA=OC.
∵OB=OD,
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵∠ABC=90°,
∴平行四边形ABCD是矩形.
(2)解:
∵记AB=a,BC=b,△AOB的周长为l₁,△BOC的周长为l₂,四边形ABCD的周长为l₃,
∴l₂−l₁=BC−AB=b−a=2,l₃=2(AB+BC)=2(a+b)=28,
∴$\begin{cases}b−a=2\\b+a=14\end{cases}$,
∴$\begin{cases}a=6\\b=8\end{cases}$,
∴AB=6,BC=8,
∴AC=$\sqrt{AB^{2}+BC^{2}}$=10.
解析
【解析】
(1)证明：
∵O是AC的中点，
∴OA = OC。
∵OB = OD，
∴四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。
∵∠ABC = 90°，
∴平行四边形ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）。
(2)解：
∵记AB = a，BC = b，△AOB的周长为l₁，△BOC的周长为l₂，四边形ABCD的周长为l₃，
∴l₂−l₁ = BC−AB = b−a = 2，l₃ = 2(AB + BC) = 2(a + b) = 28，
∴$\begin{cases}b−a = 2 \\ b + a = 14\end{cases}$，
两式相加可得：$2b = 16$，解得$b = 8$，
把$b = 8$代入$b−a = 2$，得$8−a = 2$，解得$a = 6$，
∴AB = 6，BC = 8，
∴AC = $\sqrt{AB^{2}+BC^{2}}=\sqrt{6^{2}+8^{2}}=\sqrt{36 + 64}=\sqrt{100}=10$。
【答案】
(1) 见解析；(2) $AC = 10$
【知识点】
矩形的判定、矩形的性质、勾股定理
【点评】
本题第一问考查矩形的判定，通过平行四边形的判定定理（对角线互相平分）先判定为平行四边形，再结合直角判定为矩形；第二问通过周长关系建立方程组求解边长，进而利用勾股定理求对角线长度，考查知识点综合且基础。
【难度系数】
0.6
(1)证明：
∵O是AC的中点，
∴OA = OC。
∵OB = OD，
∴四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。
∵∠ABC = 90°，
∴平行四边形ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）。
(2)解：
∵记AB = a，BC = b，△AOB的周长为l₁，△BOC的周长为l₂，四边形ABCD的周长为l₃，
∴l₂−l₁ = BC−AB = b−a = 2，l₃ = 2(AB + BC) = 2(a + b) = 28，
∴$\begin{cases}b−a = 2 \\ b + a = 14\end{cases}$，
两式相加可得：$2b = 16$，解得$b = 8$，
把$b = 8$代入$b−a = 2$，得$8−a = 2$，解得$a = 6$，
∴AB = 6，BC = 8，
∴AC = $\sqrt{AB^{2}+BC^{2}}=\sqrt{6^{2}+8^{2}}=\sqrt{36 + 64}=\sqrt{100}=10$。
【答案】
(1) 见解析；(2) $AC = 10$
【知识点】
矩形的判定、矩形的性质、勾股定理
【点评】
本题第一问考查矩形的判定，通过平行四边形的判定定理（对角线互相平分）先判定为平行四边形，再结合直角判定为矩形；第二问通过周长关系建立方程组求解边长，进而利用勾股定理求对角线长度，考查知识点综合且基础。
【难度系数】
0.6
10. （2025·北京）如图，在$△ ABC$中，$D$，$E$分别为$AB$，$AC$的中点，$DF⊥ BC$，垂足为$F$，点$G$在$DE$的延长线上，$DG = FC$.
（1）求证：四边形$DFCG$是矩形.
（2）若$∠ B = 45°$，$DF = 3$，$DG = 5$，求$BC$和$AC$的长.
（1）求证：四边形$DFCG$是矩形.
（2）若$∠ B = 45°$，$DF = 3$，$DG = 5$，求$BC$和$AC$的长.
答案
10. (1)证明:
∵D,E分别为AB,AC的中点,
∴DE是△ABC的中位线,
∴DE//BC.
∵DG=FC,
∴四边形DFCG是平行四边形.又
∵DF⊥BC,
∴∠DFC=90°,
∴平行四边形DFCG是矩形.
(2)解:
∵DF⊥BC,
∴∠DFB=90°.
∵∠B=45°,
∴△BDF是等腰直角三角形,
∴BF=DF=3.
∵DG=FC=5,
∴BC=BF+FC=3+5=8.由(1)可知,DE是△ABC的中位线,四边形DFCG是矩形,
∴DE=$\frac{1}{2}$BC=4,CG=DF=3,∠G=90°,
∴EG=DG−DE=5−4=1,
∴CE=$\sqrt{CG^{2}+EG^{2}}$=$\sqrt{3^{2}+1^{2}}$=$\sqrt{10}$.
∵E为AC的中点,
∴AC=2CE=2$\sqrt{10}$
∵D,E分别为AB,AC的中点,
∴DE是△ABC的中位线,
∴DE//BC.
∵DG=FC,
∴四边形DFCG是平行四边形.又
∵DF⊥BC,
∴∠DFC=90°,
∴平行四边形DFCG是矩形.
(2)解:
∵DF⊥BC,
∴∠DFB=90°.
∵∠B=45°,
∴△BDF是等腰直角三角形,
∴BF=DF=3.
∵DG=FC=5,
∴BC=BF+FC=3+5=8.由(1)可知,DE是△ABC的中位线,四边形DFCG是矩形,
∴DE=$\frac{1}{2}$BC=4,CG=DF=3,∠G=90°,
∴EG=DG−DE=5−4=1,
∴CE=$\sqrt{CG^{2}+EG^{2}}$=$\sqrt{3^{2}+1^{2}}$=$\sqrt{10}$.
∵E为AC的中点,
∴AC=2CE=2$\sqrt{10}$
解析
【解析】
(1)证明：
∵D，E分别为AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE//BC。
∵DG = FC，
∴四边形DFCG是平行四边形。
又∵DF⊥BC，
∴∠DFC = 90°，
∴平行四边形DFCG是矩形。
(2)解：
∵DF⊥BC，
∴∠DFB = 90°。
∵∠B = 45°，
∴△BDF是等腰直角三角形，
∴BF = DF = 3。
∵DG = FC = 5，
∴BC = BF + FC = 3 + 5 = 8。
由(1)可知，DE是△ABC的中位线，四边形DFCG是矩形，
∴DE = $\frac{1}{2}$BC = 4，CG = DF = 3，∠G = 90°，
∴EG = DG−DE = 5−4 = 1，
∴CE = $\sqrt{CG^{2}+EG^{2}}$ = $\sqrt{3^{2}+1^{2}}$ = $\sqrt{10}$。
∵E为AC的中点，
∴AC = 2CE = 2$\sqrt{10}$。
【答案】
(1) 证明过程如上述解析。
(2) $BC = 8$，$AC = 2\sqrt{10}$。
【知识点】
三角形中位线定理、矩形的判定与性质、勾股定理
【点评】
本题考查了三角形中位线定理、矩形的判定与性质以及勾股定理的应用。第一问通过中位线和平行四边形的判定定理证明矩形，第二问利用等腰直角三角形和勾股定理求解边长，综合性较强。
【难度系数】
0.5
(1)证明：
∵D，E分别为AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE//BC。
∵DG = FC，
∴四边形DFCG是平行四边形。
又∵DF⊥BC，
∴∠DFC = 90°，
∴平行四边形DFCG是矩形。
(2)解：
∵DF⊥BC，
∴∠DFB = 90°。
∵∠B = 45°，
∴△BDF是等腰直角三角形，
∴BF = DF = 3。
∵DG = FC = 5，
∴BC = BF + FC = 3 + 5 = 8。
由(1)可知，DE是△ABC的中位线，四边形DFCG是矩形，
∴DE = $\frac{1}{2}$BC = 4，CG = DF = 3，∠G = 90°，
∴EG = DG−DE = 5−4 = 1，
∴CE = $\sqrt{CG^{2}+EG^{2}}$ = $\sqrt{3^{2}+1^{2}}$ = $\sqrt{10}$。
∵E为AC的中点，
∴AC = 2CE = 2$\sqrt{10}$。
【答案】
(1) 证明过程如上述解析。
(2) $BC = 8$，$AC = 2\sqrt{10}$。
【知识点】
三角形中位线定理、矩形的判定与性质、勾股定理
【点评】
本题考查了三角形中位线定理、矩形的判定与性质以及勾股定理的应用。第一问通过中位线和平行四边形的判定定理证明矩形，第二问利用等腰直角三角形和勾股定理求解边长，综合性较强。
【难度系数】
0.5
