【知识点】菱形的定义与性质
菱形的定义：有一组相等的平行四边形叫作菱形.
菱形的性质：1. 菱形的都相等.
2. 菱形的两条对角线互相，并且每一条对角线平分一组.

[知识点]邻边　四条边　垂直　对角

【解析】
根据菱形的定义与性质相关知识，直接得出答案。
【答案】
邻边　四条边　垂直　对角
【知识点】
菱形的定义、菱形的性质
【点评】
本题考查菱形的定义与性质的基础知识点。
【难度系数】
0.9

1. 如图 21.3-11，在菱形 $ABCD$ 中，$P$，$Q$ 分别是 $AD$，$AC$ 的中点，
如果 $PQ = 2$，那么菱形 $ABCD$ 的周长是()

A.$16$
B.$8$
C.$4$
D.$2$

1.A

【解析】
因为$P$，$Q$分别是$AD$，$AC$的中点，所以$PQ$是$△ ADC$的中位线。
根据中位线定理，中位线平行于第三边且等于第三边的一半，所以$DC = 2PQ$。
已知$PQ = 2$，则$DC = 2×2 = 4$。
因为菱形的四条边都相等，所以菱形$ABCD$的周长为$4×4 = 16$。
【答案】
A
【知识点】
菱形的性质、三角形中位线定理
【点评】
本题考查菱形性质与三角形中位线定理的综合运用，通过中位线求出菱形边长进而求周长。
【难度系数】
0.6

2. 菱形不具有的性质是()

A.对角相等
B.对边平行
C.对角线互相垂直
D.对角线相等

2.D

【解析】
菱形的性质有：对角相等，对边平行，对角线互相垂直且平分。
逐一分析选项：
- 选项A：菱形对角相等，该选项不符合题意。
- 选项B：菱形对边平行，该选项不符合题意。
- 选项C：菱形对角线互相垂直，该选项不符合题意。
- 选项D：菱形对角线不相等，该选项符合题意。
【答案】
D
【知识点】
菱形的性质
【点评】
本题考查菱形的性质，需要准确记忆菱形的各种性质来判断选项。
【难度系数】
0.8

3. 如图 21.3-12，菱形 $ABCD$ 中，$∠ 1 = 15°$，则 $∠ BAD = $$.$

3.30°

【解析】
因为菱形的对角线平分一组对角，所以$∠ BAD = 2∠1$。
已知$∠1 = 15°$，则$∠ BAD = 2×15°=30°$。
【答案】
$30°$
【知识点】
菱形的性质
【点评】
本题主要考查菱形对角线平分对角的性质，属于基础题，理解并运用该性质即可求解。
【难度系数】
0.8

【例 1】如图 21.3-13，菱形 $ABCD$ 中，$∠ B = 70°$，$AB$ 的垂直平分线交
对角线 $AC$ 于点 $E$，连接 $DE$，则 $∠ ADE$ 的度数是 $.$
【点拨】根据菱形的性质可得 $∠ DAB = 180° - 70° = 110°$，$∠ DAC = ∠ BAC =$
$55°$，再证明 $∠ EAB = ∠ EBA = 55°$，最后结合菱形的轴对称的性质可得答案.

[例1]55°

【解析】
连接 $BE$。
因为四边形 $ABCD$ 是菱形，所以 $AB = AD$，$∠DAC = ∠BAC$，$AC$ 垂直平分 $BD$，所以 $DE = BE$。
因为 $∠B = 70°$，所以 $∠DAB = 180° - 70° = 110°$，则 $∠DAC = ∠BAC=\frac{1}{2}∠DAB = 55°$。
因为 $ME$ 是 $AB$ 的垂直平分线，所以 $AE = BE$，所以 $∠EAB = ∠EBA = 55°$，则 $∠ABE = 55°$。
因为 $AB = AD$，$DE = BE$，$AE = AE$，所以 $△ ADE≌△ ABE$（$SSS$），所以 $∠ADE = ∠ABE = 55°$。
【答案】
$55°$
【知识点】
菱形的性质、线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定
【点评】
本题通过连接辅助线 $BE$，利用菱形性质、线段垂直平分线性质以及全等三角形判定来求解角度，考查学生对几何图形性质的综合运用能力。
【难度系数】
$0.4$

【例 2】如图 21.3-14，在菱形 $ABCD$ 中，点 $P$ 是 $BC$ 边上的点，连接 $AP$ 交对角线 $BD$ 于
点 $E$，连接 $EC$.
（1）求证：$AE = CE$.
（2）若 $∠ ABC = 45°$，$AE = PC$，求 $∠ BAP$ 的度数.
【点拨】（1）根据菱形性质得 $BA = BC$，$∠ ABD = ∠ CBD$，进而可依据 “SAS” 判定
$△ ABE$ 和 $△ CBE$ 全等，然后根据全等三角形的性质可得出结论.（2）设 $∠ BAP = α$，由
$△ ABE ≌ △ CBE$，得 $∠ BAP = ∠ BCE = α$，根据 $AE = PC$，$AE = CE$，得 $PC = CE$，则 $∠ CPE = ∠ CEP =$
$\frac{1}{2}(180° - ∠ BCE) = 90° - \frac{1}{2}α$，再根据三角形外角定理 $∠ CPE = ∠ ABC + ∠ BAP$，得 $90° - \frac{1}{2}α = 45°$
$+ α$，解出 $α$ 即可得出 $∠ BAP$ 的度数.

[例2]　(1)证明:
∵四边形ABCD为菱形，
∴BA=BC，∠ABD=∠CBD.在△ABE和△CBE中，BA=BC，∠ABD=∠CBD，BE=BE，
∴△ABE≌△CBE(SAS)，
∴AE=CE.
(2)解:设∠BAP=α.
∵△ABE≌△CBE，
∴∠BAP=∠BCE=α.
∵AE=PC，AE=CE，
∴PC=CE，
∴∠CPE=∠CEP=$\frac{1}{2}(180°-∠ BCE)=90°-\frac{1}{2}α$.
∵∠CPE是△ABP的一个外角，∠ABC=45°，
∴∠CPE=∠ABC+∠BAP，
∴$90°-\frac{1}{2}α=45°+α$，
∴α=30°，
∴∠BAP=α=30°.

【解析】
(1)证明：
∵四边形$ABCD$为菱形，
∴$BA = BC$，$∠ ABD=∠ CBD$。
在$△ ABE$和$△ CBE$中，$\begin{cases}BA = BC\\∠ ABD=∠ CBD\\BE = BE\end{cases}$
∴$△ ABE≌△ CBE(SAS)$，
∴$AE = CE$。
(2)解：设$∠ BAP=α$。
∵$△ ABE≌△ CBE$，
∴$∠ BAP=∠ BCE=α$。
∵$AE = PC$，$AE = CE$，
∴$PC = CE$，
∴$∠ CPE=∠ CEP=\frac{1}{2}(180°-∠ BCE)=90°-\frac{1}{2}α$。
∵$∠ CPE$是$△ ABP$的一个外角，$∠ ABC = 45°$，
∴$∠ CPE=∠ ABC+∠ BAP$，
∴$90°-\frac{1}{2}α=45°+α$，
移项可得：$-\frac{1}{2}α-α=45°-90°$，
即$-\frac{3}{2}α=-45°$，
两边同时除以$-\frac{3}{2}$得：$α = 30°$，
∴$∠ BAP=α = 30°$。
【答案】
(1)证明过程如上述解析；(2)$∠ BAP = 30°$
【知识点】
菱形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角定理
【点评】
本题第一问通过菱形性质结合全等三角形判定定理证明全等从而得出线段相等，第二问通过设未知数，利用全等性质、等腰三角形性质以及三角形外角定理建立方程求解角度，考查了学生对几何知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.4