1. 如图，菱形 $PQRS$ 中，$PR = 8$，$SQ = 6$，则菱形 $PQRS$ 的边长为()

A.$4$
B.$3$
C.$5$
D.$6$

1.C

【解析】
设$PR$与$SQ$相交于点$O$。
因为菱形的对角线互相垂直且平分，所以$PO=\frac{1}{2}PR=\frac{1}{2}×8 = 4$，$SO=\frac{1}{2}SQ=\frac{1}{2}×6 = 3$。
在$Rt△ POS$中，根据勾股定理$PS=\sqrt{PO^{2}+SO^{2}}=\sqrt{4^{2}+3^{2}}=\sqrt{16 + 9}=\sqrt{25}=5$，即菱形$PQRS$的边长为$5$。
【答案】
C
【知识点】
菱形的性质、勾股定理
【点评】
本题考查菱形性质与勾股定理的结合运用，通过菱形对角线性质得到直角三角形的两条直角边，再利用勾股定理求出边长。
【难度系数】
0.6

2. 如图，菱形 $ABCD$ 的边长为 $4$，$∠ B = 120°$，则菱形 $ABCD$ 的面积为()

A.$6$
B.$4\sqrt{3}$
C.$8\sqrt{3}$
D.$12$

2.C

【解析】
过点$A$作$AE⊥ BC$于点$E$。
因为四边形$ABCD$是菱形，所以$AB = BC = 4$。
又因为$∠ B = 120°$，所以$∠ BAE = 180°-120°=60°$，则$∠ BAE = 30°$。
在$Rt△ ABE$中，$BE=\frac{1}{2}AB = 2$（$30°$所对的直角边等于斜边的一半）。
根据勾股定理$AE=\sqrt{AB^{2}-BE^{2}}=\sqrt{4^{2}-2^{2}} = 2\sqrt{3}$。
菱形的面积$S = BC× AE = 4×2\sqrt{3}=8\sqrt{3}$。
【答案】
$C$
【知识点】
菱形的性质、勾股定理、含$30°$角的直角三角形
【点评】
本题通过作辅助线，利用菱形的性质和直角三角形的相关知识求解面积，考查学生对几何图形性质的综合运用能力。
【难度系数】
$0.6$

3. 在菱形 $ABCD$ 中，$∠ ABC = 80°$，$BA = BE$，则 $∠ BAE = $()

A.$70°$
B.$40°$
C.$75°$
D.$30°$

3.A

【解析】
因为四边形$ABCD$是菱形，所以$AB = AD$，$∠ ABD=∠ ADB$。
又因为$∠ ABC = 80°$，所以$∠ ABD=\frac{1}{2}∠ ABC = 40°$。
因为$BA = BE$，所以$∠ BAE=∠ BEA$。
根据三角形内角和为$180°$，可得$∠ BAE=\frac{1}{2}(180°-∠ ABD)=\frac{1}{2}(180 - 40)°=70°$。
【答案】
$A$
【知识点】
菱形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题综合考查了菱形和等腰三角形的相关性质，通过角度关系的推导求解$∠ BAE$的度数。
【难度系数】
$0.6$

4. 如图，在菱形 $ABCD$ 中，$CE$ 垂直平分 $AB$，若 $AE = 4$，则 $BD$ 的长为()

A.$8$
B.$8\sqrt{2}$
C.$8\sqrt{3}$
D.$6\sqrt{3}$

4.C

【解析】
连接 $AC$，因为 $CE$ 垂直平分 $AB$，所以 $AC = BC$。
又因为四边形 $ABCD$ 是菱形，所以 $AB = BC$，则 $AB = BC = AC$，$△ ABC$ 是等边三角形。
因为 $AE = 4$，所以 $AB = 2AE = 8$。
设 $AC$ 与 $BD$ 相交于点 $O$，因为菱形的对角线互相垂直且平分，所以 $AC⊥ BD$，$AO=\dfrac{1}{2}AC = 4$，$BO=\dfrac{1}{2}BD$。
在 $Rt△ AOB$ 中，根据勾股定理 $BO=\sqrt{AB^{2}-AO^{2}}=\sqrt{8^{2}-4^{2}} = 4\sqrt{3}$，所以 $BD = 2BO = 8\sqrt{3}$。
【答案】
$C$
【知识点】
菱形的性质、垂直平分线的性质、勾股定理
【点评】
本题综合考查了菱形的性质、垂直平分线的性质以及勾股定理，需要学生对这些知识点有清晰的理解和运用能力。
【难度系数】
$0.3$

5. 如图，在菱形 $ABCD$ 中，$∠ A = 100°$，点 $E$，$F$ 分别是边 $AB$，$BC$ 的中点，$EP ⊥ CD$ 于
点 $P$，则 $∠ FPC$ 的度数是()

A.$50°$
B.$45°$
C.$40°$
D.$30°$

5.A

【解析】
延长$EF$交$DC$的延长线于点$G$。
因为四边形$ABCD$是菱形，所以$AB// CD$，$AB = BC$。
又因为$E$，$F$分别是$AB$，$BC$的中点，所以$BE = \frac{1}{2}AB$，$BF = \frac{1}{2}BC$，则$BE = BF$。
因为$AB// CD$，所以$∠ BEF=∠ G$，$∠ B=∠ FCG$。
在$△ BEF$和$△ CGF$中，$\begin{cases}∠ BEF=∠ G\\∠ B=∠ FCG\\BF = CF\end{cases}$，所以$△ BEF≌△ CGF(AAS)$，则$EF = FG$。
因为$EP⊥ CD$，所以$PF$是$Rt△ EPG$斜边$EG$上的中线，所以$PF = FG$，则$∠ FPC=∠ G$。
因为四边形$ABCD$是菱形，$∠ A = 100°$，所以$∠ B = 80°$，则$∠ BEF=∠ BFE = 50°$，所以$∠ G = 50°$，即$∠ FPC = 50°$。
【答案】
$A$
【知识点】
菱形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线定理
【点评】
本题通过作辅助线，利用菱形的性质、全等三角形的判定与性质以及直角三角形斜边中线定理求解角度，综合性较强。
【难度系数】
$0.3$

6. 如图，四边形 $ABCD$ 为菱形，$BD = 6\ \mathrm{cm}$，$AC = 8\ \mathrm{cm}$，过点 $O$ 作 $EF ⊥ AB$ 分别交 $AB$，
$CD$ 于点 $E$，$F$，则 $EF$ 的长为 $\_\_\_\_\_\_\ \mathrm{cm}$.

6.4.8

【解析】
因为四边形$ABCD$是菱形，$BD = 6\ \mathrm{cm}$，$AC = 8\ \mathrm{cm}$，所以$AO=\dfrac{1}{2}AC = 4\ \mathrm{cm}$，$BO=\dfrac{1}{2}BD = 3\ \mathrm{cm}$，$AC⊥BD$。
根据勾股定理$AB=\sqrt{AO^{2}+BO^{2}}=\sqrt{4^{2}+3^{2}} = 5\ \mathrm{cm}$。
菱形面积$S=\dfrac{1}{2}AC· BD=\dfrac{1}{2}×8×6 = 24\ \mathrm{cm^{2}}$。
又因为$S = AB· EF$，所以$EF=\dfrac{S}{AB}=\dfrac{24}{5}=4.8\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$4.8$
【知识点】
菱形的性质、勾股定理、菱形面积公式
【点评】
本题综合考查菱形相关知识，通过菱形性质求出边长，再利用面积不同求法得出$EF$长度。
【难度系数】
$0.3$

7. 如图，在菱形 $ABCD$ 中，点 $E$，$F$ 分别在边 $BC$ 和 $CD$ 上，且 $∠ AEB = ∠ AFD$。求证：
$BE = DF$.

7. 证明:
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，∠B=∠D.在△ABE和△ADF中，∠B=∠D，∠AEB=∠AFD，AB=AD，
∴△ABE≌△ADF(AAS)，
∴BE=DF.

【解析】
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB = AD，∠B = ∠D。
在△ABE和△ADF中，
∠B = ∠D，
∠AEB = ∠AFD，
AB = AD，
∴△ABE≌△ADF（AAS），
∴BE = DF。
【答案】
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB = AD，∠B = ∠D。
在△ABE和△ADF中，
∠B = ∠D，
∠AEB = ∠AFD，
AB = AD，
∴△ABE≌△ADF（AAS），
∴BE = DF。
【知识点】
菱形的性质、全等三角形的判定、全等三角形的性质
【点评】
本题通过菱形的性质得到边和角的关系，再利用全等三角形的判定定理证明三角形全等，进而得出对应边相等，考查了对几何知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6